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Wird mm die Gleichung (1), worin m duic-h '/ zu ersetzen ist, über das ganze 

 pentasphärisclie Netz summiert, so geben je diejenigen J\ zusammen, welche einem und 

 demselben Eck des Netzes entsprechen, den Wert des totalen tetrasphärischen Kon- 

 tinuums oder 16; aus H f^{p,p' ,p" ,2)'" ,.. .Eck) wird daher IGög. 



Alle /(p, p' Vieleck) zusammen, welche einem und demselben Vieleck entsprechen, 

 geben 4. Aus -~^ 2 i:{d — 2)f(p,p' Vieleck) — 8 2:(rZ — 2) = — 8 ZcZH- 16 a^. 



Was das folgende Glied 4 2-' d betrifft, so wird im ganzen jedes d eines Vielecks 

 so oft gezählt, als vierfache Perischeme dieses Vieleck gemein haben, also e mal. Aus 

 i 2 d wird demnach 4 Z: d e. Da aber d e auch das Produkt der Zahl der Polyeder, 

 welche ein Vieleck gemein haben, mit seiner Seitenzahl ist, so wird Zlde auch erhalten, 

 indem man die Seitenzahlen aller Vielecke eines Polyeders addiert, was 2 Cj giebt, und 

 dann die so von allen Polyedern erhaltenen Zahlen summiert; folglich ist Edc=-- 2 2'c,. 

 Aus 4 E d wird also zuletzt 8 ^ Cj . 



Die Summen der noch übrigen Glieder ergeben sich unmittelbar. Da nun 32 das 

 Mass des totalen pentasphärischen Kontinuums ist, so erhält man: 



32= 16öo— 8:Srf+16a2H-8 2;e, — 82?>„~8:S-/;2 + 16fl,. . . . (5) 

 Nun i.st 



- id ^^ic, = - 2-^ -\ ^y; = i-y; - 2 «,, 

 EK^I b, = !■ h, + 1 h, = If, + 2 «3. 



Demnach verwandelt sich die Gleichung (5) in 



32 = 16 «0 + 16 «2 + 1*^ <h ~ 16 '"'i — 16 a^, 

 oder 



«0 — «1 + «2 — «3 + «4 = 2, 



was zu verifizieren war. 



Das stufenweise Verfahren, welches wir bei der Konstruktion des Ausdrucks 

 eines ganz beliebigen pentasphärischen Polyschems befolgt haben, wird desto länger und 

 verwickelter, je höher die Ordnung der Perissosphäre steigt, und ist wohl kaum einer 

 Verallgemeinerung fähig. Wendet man dasselbe noch auf das heptasphärische Polysehem 

 an, wobei man, vom Plagioschem ausgehend, noch fünf andere Stufen durchlaufen muss, 

 so gewähren die gefundenen Ausdrücke für das trisphärische, pentasphärische und hepta- 

 sphärische Polysehem eine hinreichende Induktion, um aus denselben auf die Form des 

 allgemeinen Ausdrucks für irgend ein perissosphärisches Polysehem zu schliessen. Wir 

 setzen nämlich für ein (2 n + l)-sphärisches Polysehem den Ausdruck 



/2„ + , - 2"/..,, + EAJ,„_,^ j- ^A-^ + i /.„-.« H \- ^A,„ _ ,./; + ^„ + , . (6) 



