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 Q (3, 3, 4) = P,, , (^). Q ^3, 4, ■?.) = P, , ('3"), Q (4, 3, 3) = P, , (|), 



/•Wr Q Q^ P l^''\ 38:2 191 „/TT 71 -2n\ 191 



Von den angofülirten Eckeninasson sind vier rational. Dieses hängt mit der stetigen 

 Erfüllung der vierfachen Totalität durch lauter gleiche reguläre Polyscheme, welche 

 wir am Ende von § 17 betrachtet haben, zusammen und bestätigt das dort Gesagte. 

 Den drei Charakteren (3, 3, 4, 3), (3, 4, 3, 3), (4, 3, 3, 4) als den einzigen, nach 



denen eine einmalige Erfüllung möglich ist, ist aber noch ein vierter (5, 3, 3,-^) und 



sein reciproker beizufügen, von denen der erste eine wiederholte Erfüllung durch ein- 

 fache, der zweite durch übcrschlagene Hekatonkaieikoaascheme anzeigt. Man kann sich 

 übrigens hievon auch mittelst des am Ende von § 17 gebrauchten Vei'fahrens überzeugen; 

 wenn nämlich die gleichen Bezeichnungen gelten wie dort, so ist 



e(5,3,3) = cos(;. --;;) = §(3,3, 1). 



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Da wir nun Q (5, 3, 3) = — • IG gefunden haben, und das übcrschlagene Hexakosioschem 



(3, 3, ^1 sechshundert Grenztetraeder zählt, so liegen bei der durch (5,3, 3, ~| angezeigten 



Erfüllung der vierfachen Totalität je 600 einfache Hekatonkaicikosascheme um eine 

 Lösung hcTum und wiederholen dadurch die Totalität 191 Male. Folglich hat das 

 überschlagene Hexakosioschem einen 191fachen Mantel. Im folgenden Para- 

 graphen wollen wir dieses noch direkt aus der Konstruktion beweisen. 



Für reguläre Polyscheme mit einfachem Mantel war die in den §§ 17 und 18 

 gegebene Aufzählung vollständig. Es fragt sich noch, wie viele es deren mit mehr- 

 fachem Mantel geben kann. Um die Antwort hierauf vorzubereiten, schicke ich folgende 

 Betrachtung voran. Gesetzt, es gäbe eine durchaus symmetrische Verteilung von Lö- 

 sungen auf der Polysphäre, deren ursprüngliches Netz mehrei'e Male herumgeht, so ziehe 

 man die Kreisbogen, welche die kürzesten sphärischen Abstände darstellen, die es 

 zwischen je zwei Lösungen geben kann; dann werden diese sich zu einfachen regulären 

 Kugelvielecken, diese wiederum zu einfachen regulären tetrasphärischen Polyschemen, 

 u. s. f. gruppieren; die Perischeme höchster Ordnung endlich werden ebenfalls regulär 

 und einfach sein und können das totale polysphärische Kontinuum nur einmal besetzen. 

 Wenn also auch in irgend einer Totalität überschlagene reguläre Polyscheme existieren, 

 so können sie doch keine neue Art von symmetrischer Verteilung der Radien einer 

 Polysphäre erzeugen, welche nicht bereits von einem einfachen regulären Polyscheme 

 geliefert worden wäre. Wenn nun im Charakter eines regulären Polyschems keine 



