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andern Ziffern als 8 iiiul 4 voikommen, so ist leicht einzusehen, du-ss es rein unmöglich 

 ist, seine Ecken so zu verbinden, dass etwas Ueberschlagenes entsteht. Die einzige 

 noch vorkommende Ziffer — denn von der zweifachen Totalität, welche eine endlose 

 Mannigfaltigkeit i'egulürer Gebilde gestattet, kann hier keine Rede sein — ist 5 und 

 kommt nur in der dreifachen und vierfachen Totalität vor; ihr entspricht das einfache, 



der Ziffer '„)- dagegen das überschlagene Fünfeck. Lässt man n^zii^roke Gebilde weg, 



so können überschlagene Polyscheme nur im Haumc und in der vierfachen Totalität 

 re.sp. durch andere Verbindung der Ecken des einfachen Ikosaeders und des einfachen 

 Hexakosioschems gebildet werden. 



§ 34. Nähere Untersuc/mng der Ilexakosio.scheme. 



Zum leichtern Verständnis alles folgenden ist es nötig, mehrere trigonometiische 

 Relationen, welche das räumliche Ikosaeder betreffen, vor Augen zu haben. Man pro- 

 jiziere die Oberfläche des Ikosaeders auf eine konzentrische Kugel und merke sich ausser 

 den Ecken des Netzes noch die Mittelpunkte seiner Dreiecke und die Mitten seiner 

 Seiten; man wird dann immer Kugeldreiecke finden, deren blosse Anschauung zum Be- 

 weise der erwähnten trigonometrischen Relationen hinreicht. 



Sind ABC, ABB zwei benachbarte Dreiecke eines Ikosaeders, E, F ihre Mittel- 

 punkte, das Centrum des Ikosaeders, a = A AOB, h ^ /_ CO E, U = /L CVF, so ist 



1 • 2 



rt + i + 6 =31, cos a = -7^ ' sin a = -;= ' 





,, 1/V5-2 . ,, 1/ 2 ys + 1 , ,, o , ,/T 



cos 6 =1' - — 7=- r sni i = r — ,- ' tang b = 3 + V 5 . 

 ' 3 V 5 ' 3 V 5 



Mittelst dieser Winkel können wir nun die tetrasphärischen Werte der 120 Ecken des 

 einfachen Hexakosioschems, wie folgt, angeben. Die eingeklammerten Buchstaben be- 

 zeichnen, gleichwie in § 17, die in die einzelnen Zonen fallenden Gruppen von Ecken. 

 Eine ganze Zahl, welche die Werte 0, 1, 2, 3, 4 durchläuft, ist mit i bezeichnet. Die 

 Hedeutung der tetrasphärischen Variabein 0, rp, »/' erhellt aus ihren Beziehungen zu den 

 orthogonalen Variabein w, t, y, z: 



lu = cos 0, a; = sin & cos tp, y = sin © sin qp cos \p, z = sin sin (p sin </'. 



