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selben Ikosaederfläche entsprechen, also 00. Die Seiten de verbinden Ecken, welche 

 einem Ende und der Mitte einer Kante des Ikosaeders entsprechen, also 60. Die Seiten 

 df verbinden Ecken, welche einem und demselben Eck des Ikosaeders entsprechen, 

 also 12. Die Seiten ee verbinden Ecken, welche den Mitten zweier benachbarten Kanten 

 des Ikosaeders entsprechen, also 60. Von da an Wiederholung in umgekehrter Ordnung. 

 Mit Ausnahme der Seiten df und ee sind also die Anzahlen aller übrigen Seiten zu 

 verdoppeln, wodurch sich 720 als Anzahl aller Seiten ergiebt. 



Denkt man sich, wie bisher, alle Ecken in dasselbe äquatoriale ikosaedrische 

 Netz projiziert, und bedeutet dann ic den äquatorialen Abstand zweier durch eine 

 Seite verbundener Ecken, so sind die Verbindungen derselben zu Seiten immer so be- 

 schaffen, dass tu den kleinstmöglichen Wert hat, wie folgende Uebersicht zeigt: 



n h, h i ohne Bedingung, 



h b, h li, iu = II, 

 b c, ij h, w = h, 

 b d, fh, IV = 0, 

 c c, ff (j, w ^ b' — b, 



u e 



Die Tetraeder, aus denen der Umschluss besteht, sind folgende: abbb 20, 

 hbhc'lO, bbrc oO, bccd 60, ecfZe 60, cdeeßO, ceee20, deef^iO, etc., im ganzen 600. 



Nachdem wir so die Struktur des einfachen Hexakosioschems untersucht haben, 

 bereiten wir uns zu einer ähnlichen Behandlung des überschlagenen vor, indem wir 



zuerst das überschlagene Ikosaeder fs, -^j betrachten. Ist 71 Poldistanz und ip 

 Azimut, so bilden die Ecken qp = 0;g) = 5T — a, (tp ^= 0; 1/;= ^j ein Dreieck, die 

 Ecken der ersten Zone sind durch 9 = ?r — a, rp = -^r- dargestellt; ferner bilden die 

 zwei Ecken qc^ = -r — a, iip = 0; i^ = -ßj mit dem Eck cp = a, li-' = -.- ein Dreieck, 

 die Ecken der zweiten Zone sind in der Formel (p = a, xl> = ^"''7 ' enthalten. Dies 



reicht hin, um von der Verbindung der Ecken eine deutliche Vorstellung zu geben. Um 

 nun zu beurteilen, wie vielfach der Mantel dieses Ikosaeders umgeschlagen ist, unter- 

 suchen wir nur, wie oft die um den Pol qp = herumliegende unendlich kleine Stelle 

 der Kugelfläche von der Projektion des Ikosaedermantels bedeckt wird, oder, was das- 

 selbe ist, wie oft ein vom Centrum ausgehender, unendlich wenig von der positiven 

 Axenhälfte abweichender, aber sonst freier Strahl den Mantel des Ikosaeders durchbohrt. 



