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Da das überschlagenc Fünfeck einen doppelten Umlauf hat, so bilden die fünf Dreiecke, 

 welche den Pol 9 = mit den Ecken der ersten Zone 9 = rc — (t verbinden, einen 

 doppelten Mantel. Die Dreiecke, welche je zwei Ecken der ersten Zone mit einem der 

 zweiten verbinden, gehören nicht hiehor, weil sie zwischen dem Centrum und dem 

 Gegenpol g) = st durchgehen. Jedes Dreieck dagegen, welches ein Eck der ersten Zone 

 mit zweien der zweiten verbindet, geht zwischen dem Centrum und dem Pol durch, und 

 seine Projektion bedeckt die Gegend des letzten ringsum vollständig; alle fünf Dreiecke 

 dieser Art bilden also einen fünffachen Mantel. Die fünf letzten Dreiecke endlich, 

 welche je zwei Ecken der zweiten Zone q) = a mit dem Gegenpol (p ^ tt verbinden, 

 kommen nicht in Betracht, weil sie sich auf den Gegenpol projizieren. Wir schliessen 

 hieraus auf einen siebenfachen Mantel des überschlagenen Ikosaeders. Ist seine 



Seite 1, so ist der Kadius der umschriebenen Kugel q = =sin— • 



_cos-^ 



Nach dieser Vorbereitung gehen wir an die Untersuchung der Massverhältnisse 



des überschlagenen Hexakosioschems (3, 3, 4)- D^s Eck a sei Pol = 0. Ist & die 



Poldistanz der in seiner Basis liegenden und ein (3, -^j bildenden Ecken, so ist cos — 



= p = sin ^ , also = -^ die erste Zone (/). Wird das Eck /, für welches (p = 7t, 



mit dem Eck a vertauscht, so geschieht dies durch die Transformationsformeln: 



2 TT ( , ^ 7t , , , 



cos = — cos ~ cos — sin ^ sm cos (p , 



'■^71 , "^ 7t , , 



sin cos qp = — sin V cos + cos V sm cos (p , 

 sin sin (j» = sin &' sin (p\ 



Mittelst derselben können wir genau das konstruktive Verfahren in § 17 nachahmen. 

 Wir kennen nämlich die Werte von 0, (p, t, welche den Ecken / der ersten Zone 

 entsprechen. Setzen wir dieselben an die Stelle von 0', q>' , ip', so lernen wir die Ecken 

 der ersten Zone für den Pol 0' = kennen; unter diesen finden sich neue Ecken 

 für den Pol — 0, und wir sehen das Gebiet der bekannten Ecken von diesem ur- 

 sprünglichen Pol aus erweitert. Indem wir diese Erweiterung auf den zweiten Pol 

 0' = übertragen, so wird durch die entsprechenden Substitutionen das Gebiet des 

 ersten Pols wieder erweitert. Wird dieses Verfahren lange genug fortgesetzt, so werden 

 uns endlich alle Ecken zugleich mit ihrer Verbindung bekannt. Ich lasse hier eine 

 Tafel der Substitutionsergebnisse folgen, in der Absicht, daraus die Ordnung herzuleiten, 

 in welcher die Ecken durch Seiten verbunden sind. 



