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II. Die Tetraeder fffc sind 20 an der Zahl. Werden alle vier Ecken eines 

 solchen Tetraeders auf die äquatoriale Kugel projiziert, so bilden die Ecken / ein Kugel- 

 dreieck, dessen Seiten tt — a betragen, und das Eck c ist dem Mittelpunkt dieses Drei- 

 ecks, der von den Ecken um V absteht, antipod. Man kann demnach die Werte der 

 vier Ecken so ansetzen: 



(/■) w = cos ^i X = sin ^ cos V , y ^= sin '-^ s'inb' , z = 0; 



,,.,., Dir .S/T ,, .3;T.,, 2;r . Sn . ,, . 'in . 



U ) "■ = COS ^-t X = Sin -^ cos , y = sni -^ sm b cos -^ > z = sin — sin b sin ^- ' 



a,,\ OTT .8 TT ,/ . ^u . ■, t '^n . '^n . T , * '^n 



) IV = COS ^> X = sm ^ cos ü , ]/ = sin -^ sm 6 cos -^ » s ^ — sm ^ sm ö sm ^^^ ; 



(r;) «f = cos Y ' ^ = — sin -^ ' U = , z = 0. 



Sind p, q, r, s beliebige positive Faktoren, für welche j> + </ + ;+ s = 1 ist, und 

 multipliziert man die orthogonalen Werte der vier Ecken mit denselben, so sind die 

 Summen der Produkte die Werte irgend einer innerhalb des Tetraeders Hegenden 

 Lösung. Richtet man die Faktoren so ein, dass die Variabein x, y. z verschwinden, so 

 wird IV der erste Wert der Lösung, in welcher der Raum des Tetraeders die Axe 

 schneidet. Kann dieses durch positive Faktoren geschehen, so schneidet der Tetraeder 

 selbst die Axe, ohne dass es einer Verlängerung seines Raumes bedarf. Man erhält 



Vo"- 1 3 - V'^ 3 - V"5 10 i^- 1 



'' ■' 2^5 2 y 5 215 2 V 5 



Das Tetraeder //'/" c schneidet demnach die Axe auf der negativen Seite; also schneiden 

 die 20 Tetraeder y d d d die Axe auf der positiven Seite. 



III. Die Tetraeder //ec sind 30 an Zahl. Da w {ff) = 7r — a, w {ci) = Tt — {V ~h), 

 ic (^fc) = TT — b' . Man kann daher den vier Ecken folgende tetrasphärische Werte geben: 



(/,/■) = 1^' •J' = ^' (/) -/' = 0, (/) ^ = ^; 



/ \ r\ " b' — b , . n 



2 



Aus diesen folgen die orthogonalen Werte : 



3 JT . in . a , . 3 Jt a „ 



IV = cos -T- 1 aj = sm ^- sin -, ' y = + sin -^ cos -jt' 2 = 0; 



o o 2 ■' — o 2 



n . 7t . h' — b n . . 71 b' — b 



tu = cos Y ' ^ = — sm Y sin -^— > ?/ = 0, 2 = + sin y cos — 5 — 



