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jj, = cos ^ cos 0+ sin Y sin cos w, wo cos iv ^ — cos b' cos qp | sin b' sin qp cos i|^, 

 j*.j = sin I — sin — cos tp -|- cos — sin (p cos «^ j , 

 P'i- Ih = sin sin q) sin (' | i'\ . 



Da sin 0, sin q) immer positiv sind, so geben die zwei letzten Polynome für eine 



innere Lösung die Bedingungen — ^ < t^- < ^ . Das Polynom ih giebt dio Bedingung, 



dass die äquatoriale Projektion der innern Lösung auf der Halbkugel liegen müsse, 



deren positiver Pol qp = — ^— , i/' = ist und auf der Mitte einer Seite des äquatorialen 



Ikosaedernetzes liegt. Alle drei Bedingungen zusammen liefern ein äquatoriales Dreieck, 

 innerhalb dessen die Projektion einer innern Lösung fallen muss, und dessen Ecken die 

 Projektionen von II, III, IV sind. Der Mittelpunkt dieses Dreiecks ist cp = 71 — b' , t/' = 0; 

 das obige w ist also der sphärische Abstand irgend einer äquatorialen Lösung von diesem 

 Mittelpunkt; das Maximum von tv findet für die drei Ecken statt und ist U ; daher ist 

 cos IV immer positiv. 



Wenn also < ^ ist, so ist j), immer positiv. Ueberhaupt ist p^ der Kosinus 



des dritten Winkels eines Kugeldreiecks, worin die zwei Winkel -77^ und tc — die 



Seite w zwischen sich haben. Für ein konstantes © nimmt p^ ab, wenn w wächst; 

 und der Spielraum von lu reicht von it; = an bis da, wo p^ = wird, darf aber auch 

 nicht über iv = b' hinausgehen. Dieser Spielraum fängt also da an beengt zu werden, 

 wo für w = b' zugleich p^ = wird, verengert sich für ein abnehmendes /r — immer 

 melir und verschwindet endlich da, wo i\ = wird für w = 0. Aus der Anschauung 



des sphärischen Ikosaedernetzes ergiebt sich für jenen Anfang ?r — = ^; dieses 



Ende verlangt cos 10 — ^) == ^ '^^'^^ = ~ . Somit ist die Grenzbedingung j;, > 



nur für die Zonen = -r- > -rr' -r- zu untersuchen. 



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In der Zone = -^ findet noch keine Verminderung der Ecken statt; nur fallen 

 sie für II, III, IV in die Grenze pi ^-- hinein. 



In der Zone ^ ^= -^ kommen nur 10 Mitten von Ikosaederfiächen in Betracht, 

 wovon 6 paarweise auf die Seiten des begrenzenden Kugeldreiecks fallen. Es muss sein 



cos w > cotg ^ -ö- = y = — cos b cos V + sin b sin b' cos - 1 



