Addiert man alles zusammen, so erhält man 



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Es giebt noch ein Paar reciproker Polyschome, deren Ecken mit denen des ein- 

 faclien Hexakosioschems znsamnienfallen. Sie entsprechen den Charakteren |5, 3, -^-j 

 und I Jl ! 3,51 und mögen die zwei amphibolen llekatonkaieikosascheme heissen. 



\Virklieh ist sin -^ sin ^ = ^^ > -r = cos ^ ■ Ist nun 1 die Seite eines überschlagenen 

 o a i 2 ö 



Ikosaeders 13, -^ j , so ist sein Radius sin ^ \ die genannte Seite ist aber zugleich Dia- 

 gonale des Fünfecks des einfachen Dodekaeders (5, 3), das als Bestandteil des Um- 

 schlusses des gesuchten Polyschems auftritt; die Seite dieses Fünfecks oder die Seite 



des Polyschems ist also 2 sin ■ wenn daher a den entsprechenden tetrasphärischen 



Centriwinkel bezeichnet, so ist cos -, = sin . : 2 sin t,t = cos t;-, ; folglich a = . , gerade 



wie beim einfachen Hexakosioschem. Bei diesem kennen wir nun schon eine dodeka- 



edrische Gruppe von Ecken; sie wurden mit c bezeichnet und lagen in der Zone = y 



Der Radius der eingeschriebenen Tetrasphäre ist also halb so gross als derjenige der 

 umschriebenen; d.h. wenn die zwei amphibolen Hekatonkaieikosascheme der- 

 selben Tetrasphäre eingeschrieben sind, wie das Oktoschem und Hekkai- 

 dekaschem, so sind sie auch mit ihnen derselben Tetrasphäre umschrieben. 

 Jedes derselben hat 120 Ecken, 720 Seiten, 720 Fünfecke und 120 Dodekaeder. 



Wir wollen nun untersuchen, wie oft der Umschluss dieses Polyschems (5, 3, ', | 



sich auf die Tetrasphäre projiziert. Ordnet man die einfachen Dodekaeder zonenweise 

 um den Pol a, so bedeckt erstens das Dodekaeder ic cc . . .), welches diesen Pol a zum 

 tetrasphärischen Centrum hat, denselben ringsum; zweitens kommen die 20 Dodekaeder, 

 deren Centra die Ecken c sind, und welche um das gemeinschaftliclie Eck a herum, 



wie die Dreiecke eines überschlagenen Ikosaeders (3, ^) auf einander folgen, in Be- 

 tracht; sie bedecken den Pol a nur 7 mal, weil auch das (8,-^1 einen 7 fachen Mantel 



hat; drittens gehören die 12 Dodekaeder, welche die Ecken h zu Centren haben, hieher; 

 jedes derselben bedeckt den Pol « ringsum. Da es nun sonst keine Dodekaeder giebt, 

 deren Projektionen den Pol a erreichen, so wird derselbe 1 + 7 + 12 = 20 mal be- 

 deckt. Das Polyschem (5, 3, 'M projiziert sich also 20 mal auf die Tetrasphäre. 



