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Dasselbe Resultat erhalten wir, wenn wir nachsehen, wie viele Tetraeder des 

 (3, 3, 5) auf ein Dodekaeder des (5, 3, ~| gehen. Wird dieses von den Ecken c ge- 

 bildet, so umfasst es ganze Tetraeder, die 20 abbh, 20 bhbc, 30 bbcc und die 60 

 halben Tetraeder b c r. d. Dass diese von den sphärischen Fünfecken des Dodekaeders 

 wirklich halbiert werden, davon überzeugt man sich am leichtesten, wenn man eine 

 Gruppe von je U um eine gemeinschaftliche Seite herum liegenden Tetraedern unter den 

 Pol bringt; es sei dann a 6, die gemeinschaftliche Kante, die Gegenkanten bilden das 

 sphärische Fünfeck &„ b^ b^ b^ b^ ; die Kugelfläche des letzten halbiert den Kreisbogen 



ab, = -^ ; denn jene ist durch die Gleichunsr ' = tana — cos a = tang -- , dieser durch 



die Gleichungen y = 0, z ^ bestimmt. Wenn man also immer die tetrasphärischen 

 Projektionen betrachtet, so ist das Tetraeder im Dodekaeder 100 mal enthalten. Da 



nun jenes — des tetrasphärischen Kontinuums beträgt, so ist dieses , und der ganze 



aus 120 Dodekaedern bestehende Umschluss zählt 20 tetrasphärische Kontinua. Dem- 

 nach ist 



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/(f'f'T) = -»/(l'^'^-) 



Zum Sciilnsse muss ich noch bemerken, dass, obschon das Orthoschem/(V' — > .y) 

 einen rationalen Wert hat, doch der Charakter l-^i 5, 3j kein echtes Polyscheni dar- 

 stellt, weil auch im Räume der Charakter (-5, ^) zwar ein Gebilde, das mit dem Iko- 



saeder die Ecken gemein hat, aber kein echtes Polyeder darstellt. Dasselbe genügt 

 nämlich der Bedingung cig — «, -(- «.^ = 2 nicht. 



§ 36. Ueber die Summe der Quadrate der Projektionen eines Strahls auf 



symmetrisch verteilte Richtungen. 



Wir werden in diesem Paragraphen Fälle kennen lernen, wo mehrere von einem 

 gemeinschaftlichen Centrum ausgehende feste Strahlen /■ die Eigenschaft haben, dass 

 nicht nur die Summe der Projektionen irgend eines beliebigen Strahles s auf alle jene 

 festen Strahlen verschwindet, sondern dass auch das arithmetische Mittel der Quadrate 

 der Projektionen gleich ist dem Quadrat des Strahls .«, dividiert durch die Dimen.sions- 

 zahl der Totalität. Um diese Eigenschaft kurz bezeichnen zu können, wollen wir jene 

 festen Strahlen /• eu taktisch nennen. Von dieser Erklärung ausgehend, können wir 

 nun folgenden Hilfssatz aussprechen: 



Wenn in der «-fachen Totalität ^ eutaktische Strahlen »gegeben sind, 

 und es gehören zu jedem derselben als Axe ;t seitliche Strahlen g, welche 



