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durchweg mit ihrer Axe denselben Winkel a bilden und überdies so um 

 dieselbe geordnet sind, dass immer ihre äquatorialen l'rojektionen eine 

 Gruppe von /< eutaktischen Strahlen einer {n — l)-fachen Totalität dar- 

 stellen, so sind alle ^/( Strahlen q zusammen eutaktisch für die »-faclie 

 Totalität. 



(Unter äquatorialen Projektionen verstehe ich die Projektionen auf das zur je- 

 weiligen Axe normale (« — l)-fache lineare Kontinuum, und den Winkel zwischen den 

 äquatorialen Projektionen zweier Strahlen werde ich ihr Azimut nennen.) 



Beweis. Bezeichnet (f den Winkel, den der Strahl s (von der Länge 1) mit 

 irgend einem festen Strahl r bildet, so ist vermöge der eutaktischen Eigenschaft aller 

 Strahlen r: 



I cos 9 = 0, 2- cos-' f/> = - , also 2" sin^ w = (^Lziil^ . 



Bedeutet ferner i' das Azimut zwisclien dem Strahl s und einem Strahl q in Beziehung 

 auf seine Axe /■, so ist 



2" cos i' — 0, 1' coä ^ i' 



M-1 



wenn diese Summe sich nur auf die jt Strahlen q, welche zu derse]l)en Axe gehören, 

 erstrecken. Ist nun m der wahre Winkel zwischen s und q, so ist 



cos H*= cos n cos (f H~ sin a sin cp cos rp; 

 folglich 



2" cos w = /i cos a cos 9, 2" cos- w = /.i cos- a cos- (f -\ ^ sin- a sin- cp , (1 ) 



und wenn man die Summen links auf alle Strahlen cp ausdehnt, vermöge der zuerst 

 gesetzten Gleichungen, 



2 COS w = 0, 2 cos'' w = u cos- a ■ ~ sin^ a • — = -^ i . (2) 



was zu beweisen war. 



Wir wollen nun zeigen, dass für jedes reguläre Polyschem die von seinem Centrum 

 nach seinen Ecken gehenden Strahlen eutaktisch sind, indem wir, bei der Ebene an- 

 fangend, nach und nach immer zu einer höheren Totalität fortgehen. 



I. Zweifache Totalität. Die Formeln 



(=»- 1 



^ cos (« + '^) = für *. = 2, 3, 4, . . . , und ^ cos- (« + "^) = Jj für n > 2 

 sind bekannt; folglich sind die Radien jedes regulären Vielecks eutaktisch. 



