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ll. Dreifache Totalität. Dass die Summe der Projektionen eines Strahl .'■■ auf 

 alle nach den Ecken gehenden Radien /■ eines regulären Polyeders verschwindet, folgt 

 mit Ausnahme des Tetraeders bei den vier übrigen daraus, dass je zwei IJadien ein- 

 ander entgegengesetzt sind. Beim Tetraeder kann man es daraus schliesseii, dass das 

 Centrum zugleich Schwerpunkt der Ecken ist. 



Wenn u Ecken des regulären Polyeders in einer durch den Polabstand « be- 

 stimmten Zone liegen, so sind die äquatorialen Projektionen der entsprechenden Radien 

 Q offenbar eutaktisch als Radien eines regulären /«-Ecks. Sind dann qp, tv die Winkel, 

 welche ein Strahl s mit der Axe und mit einem Strahl q bildet, so ist nach (1) 



p = 1' cos w = i-i cos a cos q>, q = 2' cos^ (t = fi cos- u cos- q> -\- ' ^ sin- a sin'- q>. 



Diese allgemeinen Formeln wollen wir nun auf jedes einzelne reguläre Polyeder an- 

 wenden und in Bezug auf alle Zonen summieren. 



1. Tetraeder. Ein Radius gehe nach dem Pol; für diesen ist jj = cosqp, q = cos-c/i. 

 Die drei übrigen Radien bilden eine Zone, deren Poldistanz a durch cos « = g- be- 



1 O 4 . Q 



stimmt ist, also p = — cos ff, q = ^ cos- tp -\- .^ sin- tp. Wird die Summe aller Pro- 

 jektionen mit F, die Summe ihrer Quadrate mit Q bezeichnet, so ist P =-- 0, Q = ., ■ 



2. Oktaeder. Die 6 Radien können als positive und negative Hälften der Axen 

 eines rechtwinkligen Koordinatensystems aufgefasst werden! Also ist P = 0, Q = 2. 



3. Ikosaeder. Für den nach dem Pol gehenden Radius ist q = cos- tp. Dann 

 kommt eine Zone, wo cos a = \ ^- , i-i "= b ist, für diese also q = cos^ 9 + 2 sin- (f>. 



Die übrigen 6 Radien sind diesen entgegengesetzt; somit Q =^ i. 



Aus den Werten von Q ist ersichtlich, dass die Radien eines jeden der drei an- 

 geführten Polyeder eutaktisch sind. Werden nun vom Centi'um aus nach den 

 Mittelpunkten der in einem Eck zusammentreffenden Vielecke Strahlen gezogen und 

 das Eck selbst als Pol aufgefasst, so sind die äquatorialen Projektionen jener Strahlen 

 eutaktisch. Wird das Gleiche in Beziehung auf jedes Eck wiederholt, so fallen 

 im Mittelpunkt jedes Vielecks so viele Strahlen zusammen, als dasselbe Ecken zählt, 

 und da alle diese nach (2) eutaktisch sind, so wird man hieraus auch leicht auf die 

 Eutaxie des Systems schliessen, worin jeder nach dem Mittelpunkt eines Vielecks 

 gehende Strahl nur einmal gezählt wird, d. h. auf die Eutaxie der Radien des 

 reciproken Polyeders. Also sind auch die Radien des Hexaeders und Dodekaeders 

 eutaktisch, und die Eutaxie ist somit für alle regulären Polyeder bewiesen. 



Durch eine ähnliche Betrachtung wird man sich auch überzeugen, dass alle 

 Strahlen, welche vom Centrum eines regulären Polyeders nach den Mitten seiner Kanten 

 gehen, eutaktisch sind. 



