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III. Vierfache Totalität. Wird ein Eck eines regulären Polyschems als Pol 

 aufgefasst, so können die übrigen nach Zonen geordnet werden; und da alle zu einer 

 Zone gehörenden Ecken sich entweder geradezu wie Ecken eines regulären Polyeders 

 oder wie Kantenmitten eines solchen verhalten, so sind die äquatorialen Projektionen 

 der entsprechenden Radien des Polyschems eutaktisch. Wenn daher ft, a, q), p, q eine 

 ähnliche Bedeutung haben wie oben, so ist 



p = l^t cos a cos qp, fZ = /' cos- a cos ^ q> -\- ', sin^ u sin'- q> . 



1. Pentasche m. Für das als Pol gewählte Eck ist j) = cos (p, q = cos- (p; 



1 15. 



für die 4 übrigen ist cos a = ~ ^, daher 2J = — cos (/>, 2=4 cos^ (p + ^sin^ 9; 



also P= 0, Q= ^■ 



2. Hekkaidekaschem. Die 8 Radien können als positive und negative Hälften 

 der Axen eines orthogonalen Systems gefasst werden; also ist Q = 2. 



Ist die Eutaxie von den Radien irgend eines regulären Polyschems bewiesen, so 

 folgt sie vermöge (II) und (2) auch für das reciproke Polyschem. Sie ist also nun auch 

 für das Oktoschem bewiesen. 



Da das Eikosikaitetraschom die Ecken des Hekkaidekaschems mit denen des 

 Oktoschems vereinigt, so sind auch seine Radien eutaktisch. 



3. Hexakosiosclieni. 



(a) a = 0, (H = 1, q == cos^cp, 



(&) a = ^ , ft = 12, q = 12 cos"'' ^- cos- cp --{- 4 sin^ -f- sin- (p, 



((;) a = j, ft = 20, g = 5, 



(rf) a = -^, f< -= 12, q= 12 cos^-^cos- gj + 4 sm^ ^- sin- cp , 



(e) a = -^ , f< = 30, q = 10 sin'- q) . 



Die Werte von q für die Ecken («), (b), (c), {d) sind doppelt zu nehmen wegen der 

 entgegengesetzten Radien. Da 



„«, „2n 3 . „ TT , . „ 'in 5 



cos'' ^ — h cos- -.- = -r , sm"" -z — \- sin- -5- = -r 



5 5 4 ' 5 5 4 



ist, so wird Q = 30 = -^ . Wegen der paarweise entgegengesetzten Radien ist 

 ohnehin P = 0. 



Aus der Eutaxie des Hexakosioschems folgt sogleich auch diejenige des Heka- 

 tonkaieikosaschems. 



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