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IV. H-fache Totalität. 



1. Reguläres (« H- 1)-Schem (3, 3, ... 3, 3). Für das zum Pol gewählte Eck 



ist jj = cos rp, q = cos^ cp; für die » übrigen ist cos a = , also p = — cos (p, 



= — COS" gp -|- sin^ w; also zuletzt F =0, Q = 



2. Reguläres 2 »-Sehern (3, 3, ... 3, 4). Alle 2» Radien können als positive 

 und negative Hälften der Axen des orthogonalen Systems aufgefasst werden; also 



g = 2 = — • 



Hieraus folgt die Eutaxie auch für das reciproke Polyschem, d. h. für das 

 2H-Schem (4, 3, 3, . . . 3, 3). 



Ich niuss noch bemerken, dass in dem für das (« + !)- Sehern geführten Beweise 

 die Richtigkeit der Formel für die {n — l)-fache Totalität schon vorausgesetzt ward. 



Wir können das Bisherige in folgenden allgemeinen Satz zusammenfassen: 

 Wenn in der «-fachen Totalität mehrere (mehr als zwei) von einem 

 gemeinschaftlichen Centrum ausgehende Strahlen, welche die Einheit zur 

 Länge haben, auf reguläre Art geordnet sind, und man projiziert sie auf 

 irgend eine Richtung, so ist 1. die Summe aller Projektionen gleich Null, 

 2. das arithmetische Mittel der Quadrate dieser Projektionen gleich — • 



Es seien a, h, . . . die n Kosinus der Winkel, welche einer der l eutaktischen 

 Strahlen mit den orthogonalen Axen bildet, 2h <1, ■ ■ • dieselben Grössen für irgend einen 

 einzigen Strahl s, so ist 



2" (a jj + & 3 -f- • • •) ' 



X 



Da aber jj, q, . . . beliebig sind, so folgt 



2"«- = — , Ib- = —, etc., Iah = 0, etc. 



Ist nun noch ein zweiter Einzelstrahl s durch die Richtungskosinus p , q, ■ . . bestimmt, 

 und der Winkel zwischen den Strahlen s und s', also cos & ^ p J) -{- qq + ■ ■ ■, so 

 folgt aus dem Vorigen leicht: 



I {ap + hq-\- ■ • ■) (rt p -h bq -h ■ ■ ■) = ^^ cos 0. 



Aus dieser für eutaktische Strahlen überhaupt geltenden Formel folgt im besondern der Satz: 



