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in identischer Weise besteht, so reduziert sich die neue Gleichung des {n — l)-fachen 

 Kontinuums auf 



Y5|+T^'^^=0 (2) 



Ist irgend eine Lösung (y, , >/.,,... //„) bekannt, welche dieser Gleichung genügt, 

 so wird nun auch die Lösung ( — y^, — y^, ■ ■ ■ — y„). worin sämtliche Werte der 

 Variabein den vorigen gleich und entgegengesetzt sind, genügen. Jeder durch den 

 Ursprung gehende und vom Kontinuum begrenzte Strahl wird also durch den Ursprung 

 halbiert. Daher soll dieser Ursprung das Centrum des {n — l)-fachen Kontinuums 

 zweiten Grades heissen. 



Können die Gleichungen (1) nur befriedigt werden, indem man f,, = setzt, 



oder sind sie nicht alle unter sich unabhängig, so hat das Kontinuum kein wahres 



Centrum. 



9 T 

 Wenn mit dem Bestand der Gleichungen (1) zugleich auch „-r- = wird, so wird 



die Gleichung (2) in Beziehung auf die n neuen Variabein homogen, und das Centrum 

 selbst befindet sich im Kontinuum. Ist irgend eine andere Lösung (?/i,y.,, . . ■ y,) be- 

 kannt und bedeutet k einen willkürlichen Faktor, so wird auch die Lösung (Jq/i,ky.,,...ky„) 

 der Gleichung (2) genügen. Da somit jeder das Centrum mit irgend einer andern 

 Lösung des Kontinuums verbindende Strahl ganz in dasselbe hineinfällt, so möge es 

 strahliges Kontinuum zweiten Grades heissen. Für ein solches muss demnach 

 die Determinante der Koeffizienten aller h + 1 abgeleiteten linearen Polynome von T 

 verschwinden; aber dieses Merkmal ist nicht hinreichend, wenn die vorhin erwähnten 

 Ausnahmsfälle eintreten. 



§ 57. Bestimmung der Hauptaxen. 



Es sei / (x, y, z, . . .) eine homogene Funktion zweiten Grades der n orthogo- 

 nalen Variabein x, y, . . ., und / (x, y, . . .) ^ 1 die Gleichung eines Kontinuums zweiten 

 Grades, wo das Centrum als Ursprung angenommen ist. Eine orthogonale Trans- 

 formation der Variabein stellt -j n {n — 1) Elemente zur Verfügung. Die Zahl der 

 Glieder in xy, x z, . . . ist gleich gross. Daher ist es möglich, die Variabein so ortho- 

 gonal zu transformieren, dass in der Gleichung des Kontinuums die Produkte der Va- 

 riabein wegfallen, und nur' die Quadrate bleiben. 



Es sei X = at + a t' + a" t" + ■ ■ ■, y = ht + V t' -f- 1" i" -^~ • ■ ■, etc. die 

 gesuchte orthogonale Transformation und p t^ + j/ t"^ + jj" ("^ + • ■ • = 1 die trans- 

 formierte Gleichung des Kontinuums. Es sei ferner 



-ä df {x, y, . . .) = X d X + Y dy + ■ ■ ■ , 



