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Wäre /) imaginär, so könnte jh ^'^ konjugierte Wurzel sein; dann wären auch 

 a, a, ; h, b^; . . . konjugiert, und daher könnte keines der Produkte aai,hh^, . . . negativ 

 sein, was der Gleichung (4) widerspricht. Die Gleichung P = hat also lauter reelle 

 Wurzeln. 



Die Elemente der Determinante P seien ( j , ( ,1 , i.A, ■ ■ ■ [ ), etc., wo immer 



(*) ~ (a)' ^^^^ abgesehen von dieser Gleichheit je zweier in Beziehung auf die Dia- 

 gonale gleichliegender Elemente, sei 



dp in d^p ri 21 



etc. 



in d^p ^ ri 2] 



«0 '"O^O 

 «0 



Da nun -p. — = — 1 ist, so folgt leicht, wenn P als Funktion von p aufgefasst und 

 P (jj + m;) nach steigenden Potenzen des Inkrements w entwickelt wird, 



p(j;+».)=pQ.)-u--[;;]+«-2|;;j]-H-'2-'[;;^';;]+. .. + (-»>)"■ • • (5) 



Hat nun die Gleichung P {p) = niclit lauter ungleiche Wurzeln, und bezeichnet z. B. 

 f eine Wurzel, welche »i mal vorkommt, so behaupte ich, dass für diesen Wert von p 

 alle {in — l)-ten abgeleiteten Funktionen von P(bloss formell verstanden, wie wenn sämtliche 

 H- Elemente der Determinante P von einander unabhängig wären) verschwinden müssen. 

 Zunächst ist nämlich klar, dass auf der rechten Seite der Gleichung (5) die Koeffizienten 

 von w", ir\ ir, . . . u'"'~' verschwinden müssen; und es soll gezeigt werden, dass daraus 

 das Verschwinden aller {in — l)-ten Abgeleiteten der Determinante P mit Notwendigkeit 

 folgt. Ist dieses für in — 1 gleiche Wurzeln schon geschehen, so kann man auch ferner 

 beweisen, dass es für m gleiche Wurzeln gilt. Um nicht weitläufig zu werden, wollen 

 wir m = 4 setzen; das allgemeine ist aus diesem besondern Fall leicht zu entnehmen. 

 Da, wenn die Behauptung für m = 3 richtig ist, die zweiten Abgeleiteten von P einzeln 

 verschwinden, so kann man setzen: 



(;)-^.ö+M?)+- •■+'■(:). 

 (■) = ■•.(*)+■•.©+■••+'.("). 



wofern nur nicht alle dritten Abgeleiteten der Determinante P auch verschwinden (in 

 welchem Falle übrigens das zu Beweisende schon statt hätte). Dann ist, wenn die 

 Zeiger «, ß, y von 1, 2, 3 verschieden sind, 



