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übrigen abhängt, so müssen alle Determinanten, welche durch Woglassimg von drei 

 Horizontalreihen entstehen, verschwinden, d. h. alle dritten Abgeleiteten von P. Wenn 

 also obige Behauptung für ni = o richtig ist, so gilt sie auch für »i = 4; und es ist 

 leicht, diesen Beweis zu verallgemeinern. 



Wenn demnach eine »(-fache Wurzel j> der Gleichung P = im Systeme (3) 

 substituiert wird, so werden ni seiner Gleichungen von den übrigen abhängig. Man 

 kann daher iii unter sicli unabhängige Gruppen von Verhältnissen: 



(ii : hl : c\ : . . . , (U : h^ : c, : , rt„ : h„, : c,„ : . . . . 



angeben, deren jede dem System (3) genügt. Dann wird aber auch jede Gruppe 



(£, «, -f- £, Ct., -I f £„ «„,) : (e, &i + Ca i., -+ ■ • • -f- £„ J,„) :...., 



wo £,,£,,!••• s« willkürliche Faktoren bezeichnen, genügen. So wie nun jeder einfachen 

 Wurzel der Gleichung P = ein durch die Richtungskosinus «, b, c, . . . bestimmter 

 Strahl als Hauptaxe entspricht, so wird demnach jeder )H-fachen Wurzel ein »i-faches 

 lineares Kontinuum, bestimmt durch jene ni unter sich unabhängigen Lösungen des 

 Systems (3), entsprechen ; und wie man auch innerhalb dieses Kontinuums m orthogonale 

 Axen wählen mag, so kann man sie immer als Hauptaxen des gegebenen quadratischen 

 Kontinuums auffassen. 



Setzt man in der transformierten Gleichung 



pt'+p t'- + p"t"--^ = 1 



f' = i" = ■ • • = 0, so erhält man f = -= als absoluten Wert der betreffenden Hauptaxe. 



^'P. . . . 



Ist jt positiv, so wird die Axe der t zu beiden Seiten in gleichen Abständen vom Centrum 



durcli das quadratische Kontinuum reell begrenzt; die Lösungen, in denen dieses ge- 

 schieht, mögen Hauptscheitel des Kontinuums heissen. — Die Wurzeln der Gleichung 

 P = sind die umgekehrten Werte der Quadrate der Hauptaxen des quadratischen 

 Kontinuums. Dieses hat also so viele imaginäre Hauptaxen, als die Gleichung P ^= 

 negative Wurzeln. Soll das quadratische Kontinuum reelle Lösungen enthalten, so 

 dürfen nicht sämtliche Wurzeln p negativ sein. Je nachdem nun die Zahl der negativen 

 Wurzeln 0, 1, 2, ... « — 1 ist, kann man ii Gattungen von (|uadratischen Kontinuen 

 unterscheiden. 



§ S8. Konjugierte Halbmesser. 



Die auf Hauptaxen und Centrum bezogene Gleichung des quadratischen Konti- 

 nuums sei ,.2 ,,2 „.2 



— -I--— -+-••■-+-— = 1 



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