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jedes die Normale. Dann sind die llaujjtaxen des Schnitts mit diesen Nor- 

 malen parallel, nnd iluc Qnadrate sind gleich den Ueberschüssen eines 

 Hauptaxenquadrats des gegebenen quadratischen Kontiniiums über das 

 gleichnamige Hauptaxenquadrat eines jeden konfokalen Kontinuunis. 



.■^ 41. Fortsetzung der Lehre von den konfokalen Kontinuen. 



I. Konfokale Kontinua sind orthogonal. Schon bewiesen. 



II. Satz. Wenn n konfokale Kontinua, deren Centrum 0, sich in einer 

 Lösung P schneiden, und gilt P wiederum als Centrum einer Schar konfo- 

 kaler Kontinua, deren Hauptaxen mit den Normalen der vorigen zusammen- 

 fallen; werden ferner diese Hauptaxen resp. irgend ;; gleichnamigen Haupt- 

 axen der vorigen n konfokalen Kontinua gleichgesetzt : so geht das so 

 bestimmte quadratische Kontinuum durch 0, und seine dortige Normale hat 

 gleiche Richtung mit den erwähnten gleichnamigen Hauptaxen der ur- 

 sprünglichen Schar. 



Beweis. Der Ausdruck 



F= ^' + I' + I H {ilA = dß^ du = • • ■) 



erhalte für A = A^, A„, .I3, . . . A„ den Wert 1, oder, wenn man will, A^, A.^, ■ ■ ■ A„ 

 seien die Wurzeln der Gleichung F= 1. Dann ist 



^ == -J^B^ -^ ABC , • • • U) 



für jeden beliebigen Wert von A. Schafft man nämlich die Brüche weg, so sind links 

 die höchsten Glieder vom {11 — l)-ten Grade; rechts sind die höchsten Glieder ^5 C. . . 

 und — A!\ und es ist klar, dass bei ihrer Entwicklung die «-ten Potenzen der Variabeln 

 A sich auflieben. Die vorliegende Gleichung ist also höchstens vom (h — l)-ten Grade. 

 Nun wird sie aber durch die n Werte A= A^, A = A^, A = A^, . . . A = A„ befriedigt 

 und nmss also eine identische Gleichung sein. 



Multipliziert man die Gleichung (1) mit A und setzt dann .4 = 0, so erhält man 



., _ A,A,A,...An pi,p„„o „2 _ B,B,... B„ 



^ — tA-B)(A-C)...' eoenso 1/ — (^ß _a)(B - C)...' '^^^■ 



Lässt man A — ^i verschwinden, so ergiebt sich nach vorhergegangener Differentiation 



^ ^ _ iA,-A^){A,-A,)...iÄ,-A„) 

 4f ■^" Bf "^ ■ ■ ■ ■ A,B,C, 



