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ila aber <)' d"f= d' d'f ist, so folgt hieraus 



und, wenn die Wurzeln — > ,, ungleich sind, notwondic; 



«'«"+ ,5',3"H = 0. 



Hieraus kann ebenso, wie bei der Bestimmung der Hauptaxen eines quadratischen Kon- 

 tinuums in jj 40, geschlossen werden, dass, wenn alles übrige reell ist, immer alle ge- 

 suchten Grössen q , q" , . . . und die entsprechenden Transformationselemente a , ß' , . . . 

 reell sein werden. 



Was den Fall betrifft, wo die Endgleichung für q dieselbe Wurzel meiirfach ent- 

 hält, so weiss ich da nicht anders zu helfen, als indem ich dem System der Gleichungen 

 (a) eine Form gebe, wo die Vertikalzeilen der Koeffizienten mit den Horizontalzeilen 

 gleichen Rangs übereinstimmen, nämlich: 



df . 



+ 



df ,. 

 ^f ,' 



B 



/9-r A . 



df 

 d.'/ 



d-^f 



ß' 



+ 



dxdy' 



d'-f , , (d'f ,\r,, , 



8-7' 

 dz dx 



9'f 

 dz dl/ 



ß' 

 etc. 



• = 0, 

 ■ = 0, 



• =0, 



• = 0. 



(0 



Hier ist *•'= ,, i//= — d'logi?. Die Form dieses Systems giebt auch sogleich zu 

 erkennen, dass die Endgleichung in s nur vom (/( — iVten Grade ist. Wendet man 

 auf dieses System die gleichen Schlüsse an wie in § 40, so gewinnt man auch die Ein- 

 sicht, dass, wenn die Gleichung für s' z. B. eine w-fache Wurzel hat, auch m Gleichungen 

 des Systems von den übrigen abhängen müssen, sodass man statt der gesuchten ein- 

 fachen Richtung ein wi-faches lineares Kontinuum erhält. 



Zu den Gleichungen (b) gelangt man unmittelbar so. Es war Df-[- — DDf^^O; 

 und es soll Df^ R (A,i"H- ft r + • • •) = Rt, A'+ ft" + ■ • • = 1, ferner, wenn 

 ^ = Ai + ut'-\- a"i"+ • • •, etc. orthogonale Transformationsformeln sind und i = 

 gesetzt wird, D Df = .v't'-+ s'i''^ ■ • • sein. Dann ist s'i ==■ -,- ttt-, D Df, und, wenn 



d_ 

 dl' 



D = a 



d?.~^ P d]ß ■' 



■2 öl' 

 = ö' , etc. gesetzt w'ird, s't'= B ö'f. Da diese Gleichung 



