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Satz. Werdeu ia dem {n — l)-fachen linearen Tangentialkontinuum 

 aus der Bei'ührungslösung Radien eines regulären Polyschems gezogen, so 

 ist das arithmetische Mittel der allen diesen Radien entsprechenden Krüm- 

 mungen des höhern Kontinuums gleich dem arithmetischen Mittel der ii — 1 

 Hauptkrümniungen und bleibt also konstant, wenn auch jenes reguläre 

 Polyschem um sein Centrum gedreht wird. 



—77- -j- ■ • • . wenn q , q , ■ ■ ■ die 



Beweis. Oben war die Krümmung ,= 



Hauptkrümmungsradien und s', e", . . . die Kosinus der Winkel bezeichnen, welche die 

 Richtung der Krümmung y mit den ii — 1 Hauptkrümmungsrichtungen bildet. Da nun 

 vei'möge § 35, wenn das Symbol 31 ein arithmetisches Mittel anzeigt, im Sinne des 



ausgesprochenen Satzes M • e' 



M 



= il/.£"-= . . . = 

 If . 1 = j/ . 1 



II — l 



ist, so folgt 



•1 , oder 



Da wenigstens für den Raum die Summe und das Produkt aller Hauptkrümmungen 

 von Bedeutung sind, so wollen wir aus der algebraischen Gleichung für q die betreffenden 

 Ausdrücke herleiten. Der Krümmungsradius y ist hier so zu verstehen, dass x — k o, 

 (/ — ft p, . . . . die Werte des Krümmungszentrums sind. Wir können den (h — l)-ten 

 Teil der Summe aller Hauptkrümmungen auch mittlere Krümmung nennen; die al- 

 gebraische Gleichung, welche aus dem Systeme (a) durch Elimination der Richtungs- 

 kosinus a, ß, y, . . . hervorgeht, giebt für dieselbe den Ausdruck 



"" ■ c' ~ ^T^^l [dx ^ d!i~^ dz ' ■■■■)■ 



Entwickelt man die Determinante der Koeffizienten in den Gleichungen (i), so bekommt 

 die höchste Potenz s'"-' den Koeffizienten — {—iy-'K\ und da §''""'= E"-': p'""' 

 ist, so erhält man für das Produkt aller Hauptkrümnumgen den Ausdruck 



m^m^---n 



Am Ende dieses Paragraphen gebe icli noch einige mehr unmittelbare Ausdrücke 

 für die Krümmung und für ihre Variation. Oben waren die Hauptkrümmungsrichtungen 

 durch die Gleichungen 



