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 Mittelst dieser Relation ersiebt sich nun leicht 



d~ = 2 



^(n—'^'jddx + (d^ — '^'^ddy-\-{dv — '-^'jdclz-{- 



k dx- + dij- + dz- -I- . . . . 



Wenn diese Variation, unabhängig von den Variationen 6 d x, ä d ij, . . ., vei'- 

 schwindet, so möge das betreffende U durch q ersetzt werden; man erhält dann die Be- 

 dingungen 



dx (l_y dz^ , 



'^ ^ dX ~ Ji' ~ dTv ~ ®^*^-' 



welche die Bedingung A (Zj; + f< rZy + rrZ 2 -+-•••= schon in sich enthalten; es ist 

 sogleich klar, dass sie mit den Gleichungen («) zusammenfallen: sie dienen daher eben- 

 falls, um die einer Hauptkrümmungsrichtung entsprechenden Verhältnisse dx : dj/ : dz: ... 

 und den zugehörigen Hauptkrümmungshalbmesser q zu bestimmen. D. h. dieselbe ana- 

 lytische Bedingung J ä; = 0, welche den grössten und kleinsten Krümmungshalbmesser 

 liefert, giebt zugleich alle Hauptkrümmungsrichtungen samt den zugehörigen Halb- 

 messern. 



§ -i3. lieber orthogonale Kontinua überhaupt, und über die Hauptkrümmungen 



eines quadratischen Kontinuums. 



Definition. Wenn n Funktionen f,f',f", ■ . ■ der n Vai'iabeln j-, y, . . . so be- 

 schaffen sind, dass die -y n (n — 1) Gleichungen von der Form 



= 



alle in identischer Weise bestehen, so bilden die n durch die Gleichungen ./' = const., 

 f ^ const., ,/"= const., etc. dargestellten Scharen (n — l)-facher höherer Kontinua ein 

 System orthogonaler Kontinua. 



Dass solche Systeme auch für eine beliebige Dimensionszahl existieren, ist durch 

 die konfokalen Kontinua zweiten Grades bewiesen. 



Satz. Orthogonale Kontinua schneiden einander in den Haupt- 

 krümmungsrichtungen. 



.:ö/_ p, df._ „.. ,,^_ , , , ar 



Beweis. Es sei s^ = Rl, ^'= Ru, . . . , V-\- ir-h- • • = 1, cr^ = R'f^', 



i?V, . . ., A'--i- (i- 

 Transformationselemente. 



df , , ,, ,, , , 



-^ = i? /ü , . . ., A "-j- (i "4- • • • = 1, etc., so sind A, ju, . . .; A , jt , . . .: etc. orthogonale 



