— 174 — 

 oder, wenn f ,J" ,f"' , ... als konstant angenommen werden, 



-D' IT ''^ '^." '^ '' ' /0\ 



dx (1,1/ dz (< ^ ^ 



Betrachten wir weiter nichts als diese 7i — 1 Differentialgleichungen ', ' = r- = • • • ' 



so ist klar, dass ihre vollständige Integration n ~ 1 tinite Gleichungen mit n — 1 arbi- 

 trären Konstanten erfordert. Nehmen wir alle früheren Voraussetzungen hinzu, so kennen 

 wir wirklich das vollständige System Integralgleichungen für (3), nämlich J' = const., 

 /"= const., /'"= const., etc.; denn dieses enthält n — 1 arbiträre Konstanten. 



Die Gleichungen (3) sind uns aber auch sonst schon aus § 42 bekannt als Be- 

 dingungen für eine Hauptkrümmungsrichtung des Kontinuums y= const. Wenn also in 

 der »-fachen Totalität ein System orthogonaler Kontinua existiert, so wird jedes einzelne 

 Kontinuum von je n — 2 der übrigen in einer Hauptkrümmungsrichtung geschnitten. 

 Wir wollen dieses noch strenger begründen. 



Durch das System der Gleichungen (3) sind die Verhältnisse d x : d y : d z : . . . 

 in algebraischer Weise bestimmt. Nach der obigen Herleitung von (3) würden die- 

 selben den Verhältnissen X: /.i: >•':... gleich sein. Da man aber nur die Funktion / 

 zu kennen braucht, um die Gleichungen (3) bilden zu können, so ist klar, dass auch die 

 Verhältnisse l": ft": r": . . ., oder die Verhältnisse A'": ji'": v": . . . ., oder u. s. f., für 

 d X : dij : d z : . . . gesetzt, dem System (.3) genügen. Dieses hat also wenigstens 

 n — 1 algebraische Lösungen {dx : dy : dz : . . .). Wir wissen nun schon, dass es gerade 

 )i — 1 solche Lösungen hat; es sind die Hauptkrümmungsrichtungen. Wenn wir also 

 die n arbiträren Konstanten durch die Substitution einer bestimmten Lösung {x, y, . . .), 

 von der die Hauptkrümmungsrichtungen des Kontinuums /= const. ausgehen sollen, 

 fixieren und dann der Gleichung dieses Kontinuums je n — 2 der Gleichungen/'^ const., 

 y"= const., etc. beifügen, so bestimmt jede der so erhaltenen n — 1 Gruppen von 

 finiten Gleichungen je eine Hauptkrümmungsrichtung des ersten Kontinuums. 



Wenn man in der Gleichung — = R' H (siehe (3)) für 7f seinen früher gefundenen 

 Wert setzt, so erhält man als Hauptkrümmung des Kontinuums /^ const. in der Rich- 

 tung der Normale des Kontinuums ./ " = const. 



Die allgemeinen Betrachtungen sollen jetzt auf die konfokalen Kontinua an- 

 gewandt werden. Da eine vollständige Schar derselben alle n Gattungen reeller Kontinua 

 zweiten Grades enthält, und jedes Kontinuum aus einer Gattung von allen Kontinuen 

 der übrigen Gattungen reell und orthogonal, aber von keinem derselben Gattung 



