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Perpendikels mit den entsprechenden Hauptkrümmungsradien. Hieraus folgt leicht, dass 

 überhaupt das Quadrat irgend eines Halbmessers dos diametralen Schnitts gleich ist 

 dem Produkt des Perpendikels mit dem Kadius der Krümmung von paralleler Richtung: 

 — ein Satz, der auch unmittelbar bewiesen werden kann. 



.^ 44. Allgemeine Betrachtungen über die Existenz orthogonaler Kontinua; 

 Konstrulttion eines ganz beliebigen Systenn^ ortliogonaler Flächen im Räume. 



I. Während für den Raum die Untersuclnnig über die Bedingungen der Existenz 

 eines beliebigen Systems orthogonaler Kontinua völlig erledigt werden kann, unterliegt 

 sie für eine mehr als dreifache Totalität bedeutenden Schwierigkeiten. Man erwarte 

 daher hier keine Entscheidung der Frage, ob z. B. in der vierfachen Totalität noch 

 andere Systeme orthogonaler Kontinuen existieren ausser den konfokalen; sondern der 

 Zweck dieses Paragraphen ist nur, die erwähnten Schwierigkeiten in den einfachsten 

 Ausdrücken darzulegen. Für den Raum hingegen werde ich am Schluss dieses Para- 

 graphen als Anwendung der allgemeinen Formeln die Konstruktion eines Systems ortho- 

 gonaler Flächen zeigen, wenn eine einzige derselben beliebig gegeben ist. Ob diese 

 Konstruktion neu ist, weiss ich nicht, da mir die Originalabhandlungen, worin der Be- 

 griff der orthogonalen Flächen zuerst erörtert ward, nicht zugänglich gewesen sind. 



Wenn die n Funktionen/,/',/'",... ein orthogonales System in der «-fachen 

 Totalität darstellen, so muss. da nach der Bezeichnungsweise des vorigen Paragraphen 

 (Z/'= R'{Xdx -\- (i dy + • • •) ist, die Differentialgleichung 



X'dx-^- ii dy -\- v dz-\- ■ • ■ ^ (4) 



integrabel sein. Die Zahl der hierdurch geforderten Bedingungen ist 



I (« - 1) 0^ - 2) + I n (n - 1) ^ (n - 1) 



und stimmt daher mit der Zahl der in der Natur der Aufgabe liegenden Bedingungen 



für die Funktion / überein; denn wir hatten ursprünglich ,,« (« — 1) Gleichungen, 



woi'in die n — 1 Funktionen/',/",... zu eliminieren sind. Da ferner A',,a',... die 

 Richtungskosinus einer Hauptkrümmung des Kontinuums /= const. und daher aus § 42 

 uns als irrationale Funktionen der partiellen Differentialkoeffizienten erster und zweiter 

 Ordnung von / bekannt sind, deren Verhältnisse sämtlich in rationalen Funktionen einer 

 und derselben Wurzel einer algebraischen Gleichung (» — l)-ten Grades ausgedrückt 

 werden können, so muss auch jede der erwähnten Integrabilitätsbedingungen, von der 



