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Irrationalität befreit, als partielle Differentialgleichung dritter Ordnung in Bezug auf 

 die unbekannte Funktion / sich darstellen lassen; und man wird sich aus der Form 

 der Gleichungen (a) § 42 leicht davon überzeugen, dass sie in Beziehung auf die 

 DifFerentialkoeffizienten dritter Ordnung höchstens auf den (n — l)-ten Grad steigen 

 wird. Haben wir aber einmal die — (« — 1) (h ~ 2) Integrabilitätsbedingungen der 

 Differentialgleichung (-4) in rationaler Form, so ist sofort klar, dass in denselben auch 

 diejenigen für die übrigen Gleichungen k"dx + ii"d y + ■ ■ • = 0, etc. schon mitbegriffen 

 sind. Wir hätten demnach für die gesuchte Funktion / wirklich nur dieselbe Zahl 

 Y (h — 1) (/( — 2) von Bedingungen zu erfüllen, welche die Natur der Aufgabe auf den 

 ersten Blick zu erfordern scheint. Wir sollten es aber im allgemeinen für unmöglich 

 halten, dass eine einzige Funktion mehrern partiellen Dififei'entialgleichungen dritter 

 Ordnung zugleich genügen könnte, wenn nicht die Existenz der orthogonalen Kontinuen 

 uns faktisch von der Möglichkeit überzeugte. Es wäre daher höchst interessant, wenn 

 es gelänge, a priori von den partiellen Differentialgleichungen aus zu entscheiden, ob 

 ausser den konfokalen Kontinuen noch andere orthogonale Systeme existieren oder nicht, 

 und im letzten Falle aus den Bedingungen mit Notwendigkeit auf die konfokalen Kon- 

 tinuen zu schliessen. Das Wenige, was nun folgen wird, steht freilich weit hinter 

 diesem Ziele zurück. 



Wir wollen sämtliche Integrabilitätsbedingungen der Gleichung (4) in einer ein- 

 zigen Formel zusammenfassen, und um für diesen Zweck die Bezeichnung möglichst 

 abzukürzen, setzen wir 



ö^ = ^- 9^ = ^•"' • • •' ^ ö7c + f 91^ -^ -^' 



wo A, ;«,... die zugleich mit der Funktion / gegebenen Richtungskosinus der Normale 

 sind; und, um auch für das Auge die in irrationaler Weise bestimmten Haupt- 

 krümmungsrichtungskosinus von jenen scharf zu unterscheiden und unsre gänzliche 

 Unbekanntschaft mit den Funktionen /",_/",.. . anzuzeigen, bezeichnen wir diese n — 1 

 Kosinusreihen mit {a, ß,y, . . .), (a, /3', y', . . .), etc. und setzen ferner 



so dass, wenn o, q , q" , ... die entsprechenden Hauptkrümmungsradien bedeuten, 



(IX du d y 1 rf'i d'fi 1 , 



IT — f — y— ''' — J' '^ ^ ^ ~ ' " — V' ^*^- 



wird; endlich gebrauchen wir n — 3 unter sich unabhängige Reihen von je n beliebigen 



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