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Grössen a,, b,, q, . . .; n^,, bj, . . .; etc.; n„_;,, b„_3, . . . Wird min über die Zeichen 

 der Variabclii, auf welche die Operationen D,d,(l', . . . einzig aiisgeülit werden sollen, 

 ein horizontaler Strich gesetzt, so sind sämtliche Integrabilitätsbedingungen der Gleichung 

 adX'i-ßdy-\---- = in der Formel 



U- 



9. . ^ ■ 0, 



« . ß . y 



« . ß . y 



CI2 • 1^2 • '^2 



a„_3 . b„_3 ■ c„ 



= 



(5) 



vereinigt. Denn man würde z. B. die Integrabilitätsbedingung 



aus (5) erhalten, wenn man a, = a^ = • • • = a„_3 = 0, b, = b. = • ■ ■ = !6„_3 = 0, 

 Ci=C2^ • • • = c„_3= setzte. Wir können nun der Determinante T/eine andere Gestalt 

 geben, wenn wir die nicht überstrichenen Variabein ci, ß,y, . . . durch Determinanten 

 (fi — l)-ter Ordnung ersetzen. Wenn nämlich 



^ = l'±lßy'd"e"'... 



die Determinante aller orthogonalen Transformationselemente l, ^, . . .; a, ß, . . . ; a , ß' , . . .; a" , 

 ß" ...; etc. bezeichnet, deren Wert bekanntlich + 1 oder — 1 sein kann, und wir uns für 

 die Annahme des positiven Werts entscheiden, so ist, wenn die Differentialkoeffizienten rein 



formell verstanden werden, a = -0— , /3 = -n-r , etc. ; daher 



U= 0, . 8„ . ö, . . . . A . fi . 7' .... = D . (/.' . d'^ . 



(Xk) . (ö'ß) . («"«) . 



(AOi) . («a,) . (a"n,) . 



(Atta) • («'"2) • («"«2) • 



wo abkürzend z.B. (an) = A a -|-ft b -f j' c + • • • gesetzt ward. Im ersten durch einen 

 einfachen mittlem Vertikalstrich in zwei Hälften geschiedenen Schema enthält jede 

 Hälfte n — 1 Horizontalzeilen mit je n Elementen. Das Schema bedeutet, dass man in 



