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beiden Hälften je zwei gleichnamige Vertikalzeilen weglassen, die zwei Determinanten 

 der übrigen Elemente miteinander multiplizieren und die Summe der so entstandenen 

 »i Produkte nehmen solle. Diese Summe wird nun bekanntlich auch erhalten, wenn 

 man die Elemente irgend einer Horizontalzeile der ersten Hälfte des Schemas mit den 

 in irgend einer Horizontalzeile der zweiten Hälfte enthaltenen gleichnamigen Elementen 

 multipliziert, die Produkte addiert und aus allen solchen Produktsummen die Deter- 

 minante bildet. In der zweiten Horizontalzeile dieser Determinante steht (A «) als ei-stes 

 Element; da e« mit dem Operationszeichen D in der gleichen Vertikalzeile liegt, so 

 können auf dasselbe nur die übrigen mit d' , d" , . . . bezeichneten Operationen ausgeübt 

 werden. Nun ist A k + /< ß ■ ■ • = 0, also 



= d'(J. et) = d'(Ä «) + d'(Aa), oder d'{^ a) = — £a d' f.; 



aber rf'A = ^i ■ • ■ ; also d'{la) = — — — ~ = 0, ebenso d" {l a) = 0, u. s. f. 



Man kann also in der letzten mit U äquivalenten Determinante das Element (A a) ge- 

 radezu durch ersetzen. Da man ferner die n {ii — 3) freien Grössen a, b, c, . . . immer 

 so wählen kann, dass in der betrachteten Determinante (h — l)-ter Ordnung jedes in 

 den )i — 3 letzten Horizontalzeilen vorkommende Element einen willkürlich gegebenen 

 Wert erhält, dass z. B. alle in irgend zweien Vertikalzeilen vorkommenden Elemente 

 gleich Null werden, so folgt aus C/^= 0, dass alle im Schema 



D . d'_ . d"_ . d'" 

 . («' «) . («"ß) . («' a) 



(6) 



enthaltenen Determinanten zweiter Ordnung einzeln verschwinden; und umgekehrt, aus 

 (6) folgt (5) oder die Integrabilität der Differentialgleichung adx~\- ß d )j -]-■•• = 0. 

 Wir bekommen also n — 2 Gleichungen 



«'Z>«H~/3'D/3 4-- • = 0, ct"Du-]-ß"Dß + --- = 0, etc. ... (7) 



und -j- (u — 2) (h — 3) Gleichungen 



a"d'tt-i-ß"d'ß-i ^ad"a^ß'd"ß-[ , etc (8) 



In der Absicht, diesen Gleichungen eine Form zu geben, worin die dritten Diife- 

 rentialkoeffizienten der Funktion / sichtbar hervortreten, führen wir zuvor einige Ab- 

 kürzungen ein. Wenn z.B. die Polynome « x+ßy-hy^H — • und A.r + ftyH ■j'zH 



mit einander multipliziert und im entwickelten Produkt Glieder wie x^,xi/ resp. durch 

 fj— j j a—ff- ersetzt werden, so soll die entsprechende zusammengesetzte Operation durch 



