— 182 - 



Nun ist ferner {d . d') ,, = — '' . h 2 ^ — ^ — . Wenn man also die Gleichung (13) 



durch K' dividiert, so ergiebt sich 



Wenden wir jetzt diese allgemeinen Formeln auf die transformierten Integrabilitäts- 

 bedingungcn (7) und (8) an, so ergiebt sich namentlicli aus der Vergleichung von (8) 

 mit (15), da im allgemeinen q und q" verschieden sein werden, offenbar £a'd"a = 0. 

 Daher haben wir jetzt 



{d . d') ^ = 0, {d . d") j^ = 0, etc. . . . (17) (« - 2 Gleichungen) 



{d.d'.d")f={), {d.d'.d"')f=0, etc., {d . d".d"')f=0, etc. (18) (("7^') Gleichungen) 



als Bedingungen der Integrabilität der Gleichung adx-\- ßdy -\- ■■■ = 0. Da z. B. 



{d.d'.d")f^ cca'a" g-^ + («' «"/3 + a a"/3'+ « «'/3") 9^2^+ etc. 



ist, so sind die Gleichungen (18) in Beziehung auf die dritten Differentialkoeffizienten 



von / linear und homogen, aber in Beziehung auf die ersten und zweiten irrational. 



Will man auch in den Gleichungen (17) die dritten Differcntialkoeffizienten siclitbar 

 machen, so bringe man sie unter die Form 



{D .d.d')f= 2^^jf^- 



Da auch die übrigen Differentialgleichungen ad x -\~ ß'dij -{-■■■ = 0, etc. inte- 

 grabel sein müssen, so bekommen wir im ganzen so viele Bedingungsgleichungen von 

 der Form (d . d') -^ ^ 0, als die n — 1 Symbole d, d', d" , d'" , ... zu zweien, und so viele 

 von der Form (d . d' . d")f = 0, als dieselben Symbole zu dreien kombiniert werden 

 können, im ganzen also (" ^, ) -l"" ( ■? ) ~ ( s) Bedingungen. Es liegt also die schwierige 



Aufgabe vor, nachzuweisen, dass alle diese L j Bedingungen schon in den ( ^, 1 Glei- 

 chungen (17) und (18) enthalten seien, eine Aufgabe, für deren Lösung ich durchaus 

 keinen Rat weiss. 



Wir wollen' nun annehmen, die Form der Funktion/, welche der Aufgabe voll- 

 konunen genügt, sei verloren gegangen; aber aus der ganzen Schar der durch,/'= const. 



