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die ~ (h — 1) {ii — 2) partiellen Differentialgleicliiingen zweiter Ordnung von 



der Form {d . d') ., = 0, durch welche die unbekannte Funktion li der n Va- 

 riabein X, y, . . . bestimmt wird, einander nicht widersprechen. 



Obgleich nach § 42 die Elemente Z, /t, . . ., a, ß, . . ., «', ß' , . . . der operativen 

 Polynome D, d, d' , . . . als Richtungskosinus der Normale und der Hauptkrümmungen 

 des Kontinuums T^= ihren Werten nach bekannt sind, so sind uns doch ihre Funktions- 

 weisen wegen des Verlusts der Funktion / gänzlich unbekannt; und wenn wir auch 

 die genannten Elemente durch Funktionen aller h Variabein x, u, . . . ausdrücken, ohne 

 irgend eine Substitution oder Elimination mittelst der Gleicluiiig V= anzuwenden, 

 so haben wir doch lauter unechte Funktionsweisen, welche sich ändern, so oft wir 

 dasselbe Kontinuum durch eine von (p {V) = 9) (0) verschiedene Gleichungsform dar- 

 stellen, wie z. B. X — tp (//, 2, . . .) = 0. Daher sind alle Variationen willkürlich, welche 

 Richtungen entsprechen, die vom gegebenen Kontinuum T'"= sich entfernen; und 

 ihren Werten nach bestimmt sind nur diejenigen Variationen, welche tangierenden 

 Richtungen entsprechen; zu diesen gehören nun allerdings die mit d, d', . . . bezeichneten 

 Variationen, zu jenen unbestimmten hingegen die Variation D. Diese Betrachtungen 

 mögen anschaulich zeigen, dass man allerdings, wenn die Werte einer Funktion -^i = 11' 

 nur für jede dem Kontinuum V— angehörende Lösung bekannt sind, die Differential- 

 gleichung (d . d') ir= in der ganzen Ausdehnung dieses Kontinuums verifizieren kann, 

 wenn anders \V derselben genügt. Denn da d' einer tangierenden Richtung entspricht, 

 so ist d' IF überall auf dem Kontinuum bekannt, daher auch d (d' W). Da ferner «', ß',... 

 überall auf dem Kontinuum bekannt sind, so sind es auch d a , d ß' , . . .. Die diesen 

 Elementen entsprechende Richtung tangiert aber, weW £lda = — £a'dl= J!aa' = 0. 



Daher ist auch fZ rf' TF überall auf dem Kontinuum bekannt; also ist es endlich auch 

 {d . d')W= d {d' W) — d d' W. Da ferner leicht gezeigt werden kann, dass überhaupt 



(f/ . d'd")r= DV- (~ — 4) ^a'da, 



so sieht man sogleich ein, dass auch die Gleichung {d . d' . d")F= auf dem ganzen 

 gegebenen Kontinuum verifiziert werden kann, indem man sie durch l'w'fZ a'= ersetzt. 

 Die partielle Differentialgleichung {d . d') IF= z. B. enthält eigentlich eine un- 

 aTjhängige Variable zu viel. Will man dieselbe nicht bloss gleichsam graphisch 

 verifizieren, sondern sie auf eine echte analytische Form bringen, so kann man, um mög- 

 lichst allgemein zu verfahren, jede der n Variabein x, y, . . . so in Funktion von n neuen 

 Variabein i,, t,, . . . t„ ausdrücken, dass l„ = const. dasselbe Kontinuum, wie T'= 0, dar- 

 stellt. Es ist dann möglich, alle nach x, y, . . . genommenen partiellen Differential- 

 koeffizienten durch solche, die nach i,, t., ■ ■ ■ t„ genommen sind, auszudrücken; und 



