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zuletzt wird man anstatt (d . d') 11'= eine Gleichung erhalten, worin nur die nach 

 den n — 1 Variabein f,, /„...<„_, genommenen partiellen Differentialkoeffizienten erster 

 und zweiter Ordnung von x, y, . . ., IF vorkommen. 



Um dieses Verfahren durch ein leichtes Beispiel zu erläutern, legen wir den 

 Raum mit den drei orthogonalen Koordinaten x, y, z zu Grunde, und denken uns diese 

 als solche Funktionen der drei neuen Variabein t, u, v, dass v = const. eine krumme 

 Fläche, und überdies, was angeht und zur Vereinfachung beiträgt, n = const. die der 

 Richtung (a, ß, y) entsprechende, t =-■ const. die andere Krümmungslinie darstellt. Es 



sei dann ß-{ = P^^, ^t = P ß, g-f = P y^ OYt = ^ " ' wt^ '^ ^ ' dit = '^^ ' (^' f*' '') ^'^ 

 Richtung der Normale. Da nun ^-^ = —.••-, gy = ^ , • • •, so ist leicht nachzuweisen, 

 dass 



.« ora- + »' m-wr. = 



"" dt du ' • dt du "^ ' dt dl 



d^ X 



ist, d. h., dass die den Elementen g^g-^ > • • ■ entsprechende Richtung die Fläche tangiert. 

 Man darf daher setzen 



'dtdu~ -^ dt"^ ^ du' dtdu" ^ dt'^^ du' dtdii ~ ^ dt^ ^ d^ 



indem von diesen drei Gleichungen immer eine die notwendige Folge der zwei übrigen 

 ist; und T, U sind als bekannte Funktionen von t, u anzusehen. Nun ist 



q du' ^ ' p dt \q duj ' 



«« " p^dt^dx 1) " dt \q dl,)' dx p dt du ^ pq dtdu dx 



d^ 

 l q dW . l (^dW . jydW\ 



p dt du '^ pqV dt '^ ^ da)' 



man erhält also zuletzt 



/7 i'\ur 9-W rr^W fjdW „ 



eine partielle Differentialgleichung mit bloss 2 unabhängigen Variabein. 



Um den Gang der folgenden auf den Raum bezüglichen speziellen Erörterung 

 nicht zu unterbrechen, wollen wir hier noch eine allgemeine Relation voranschicken. 

 Setzt man in (10) ö = (/, so ergiebt sich 



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