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aus denen sich leicht 



HvD = VA —^rB —vV, 

 ,a £ = — TA + fi-5 — v'C, 

 luF = — l'A— ii'B + rC J 



\ 



(22) 



ergiebt. Wenn man ferner die zwei Gleichungen 





, dl 

 y Tz 



resp. mit «', a multipliziert und addiert, so erhält man 



24s V F ^ h-c,ä- = ^ ;li oder, da 1 ? = q^ 



ax ay dz \q ' q'J' ' q ' g' dx 



^ 4- — ist 



dy^ dz^^^' 



Multipliziert man diese Gleichung mit A /t r, eliminiert E und F mittelst (22), setzt 



dl 

 dx 



8,u df du .dl dl' dv 



^ 9^' ö*- "^ dl/ dy dy' 



dl 



dz 



dfi 

 ^Wz 



und führt die abkürzenden Bezeichnungen 



j dl dl du 



^ 9« 9.!/' 9x 



, 9.« , 9 V 



dx 



ein, wo dann ^ + in -\- n = als Bedingung für die Integrabilität der Gleichung 

 kdx -\' ^dy -'r vdz= schon erfüllt ist, so erhält man ( — |h^jh + »'7/) A-h ^''IB — j'"ZC'= 0, 

 und wenn man A mittelst der Gleichung A + B-\~C-= eliminiert, (fr-j-i'") (m C — ;iß) = 0. 

 Also ist A : B : C ^ l : m : n. Setzt man deshalb 



so folgt 



4=^/, B 



l U l> _ X u v 



~- m, C = -~ n, 



(23) 



D^Y'i^'^ — (i-m — v^n), E=^^,( — X''l-\-^')ii ~ v-n), F^ -^{—l'l — n-m-\-v-n). (24) 

 Da ferner A = /3 / — ß'y, A = cia', D = ßy — ß'yist, so hat man lAD=c(a'(ßy'' — ß'^y"'), etc.. 



XAD + iiBE+vCF= 



cca . ßß' . y y 

 «= .ß' .y- 

 « . (i . y 



= — (.ßr + ß'y')(ßY'-ß'y) = ^f<'', 



«' + ß' -h f • i3' . y'- 

 «'■ +/?"' + /' • ß'' . y"' 



0. ßß' .yy 

 l.ß' .f 



i.ß" . r 



