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und, wenn man in dieser letzten Gleichung die vorigen Ausdrücke für A, B, . . . sub- 

 stituiert, 



T'= V r+ /<' nr+ V* n'— 2 ,(r wi r „ _ 2 v' n XH — 2 T l ^' w. . . . (25) 



Durch die Gleichungen (23), (24) und (25) sind uns die Elemente des quadratischen 

 operativen Polynoms {jl . d') vollständig bekannt, und die einzige Bedingung, von der 

 oben die Rede war, ist nun, wenn ;ß = TF gesetzt wird, 



T.{d .d)}\ = li^r(lj^ + m^ + n ^) 



+ ^r z - f.^ m - .^ ,0 ^ + f* (- ^' i + ;*' '« - »' «) ra + " (- ^' ^ - f ' '" + "'' "^ St, = *^- (^''^ 



Setzt man endlich hier W = ((g|)' + (^|)' + (^Q)" ^ = jj , ^ = ^ ö{' ^*^^- ""'^ '""^" 

 tipliziert mit R", so wird die Gleichung in Beziehung auf alle partiellen Differential- 

 koeffizienten der gesuchten Funktion / ganz und rational. 



Ich führe bloss noch an, dass die partielle Differentialgleichung dritter Ordnung 

 für eine Funktion /, welche eine zu einem orthogonalen Systeme gehörende Flächen- 

 schar darstellt, auch unter folgende Form gebracht werden kann: 



Trägt man auf jeder Normale des Kontinuums / = const. ein unendlich kleines 

 Stück -^ auf, so liegen die Endpunkte aller dieser Stücke in dem successiven Kontinuum 

 derselben Schar, für welches / {x, ?/,...)= const. + df ist. Wenn man also eine 

 Funktion IF kennt, welche der Bedingung {d . d')yV == genügt, und trägt dann auf 

 jeder Normale der Fläche F= ein Stück Wo) auf, wo 10 einen sehr kleinen kon- 

 stanten Faktor bedeutet, so liegen die Endpunkte in einer neuen Fläche, welche fähig 

 ist, zugleich mit der vorigen einem orthogonalen System anzugehören. Diese Bemerkung 

 führt uns zu einer graphischen Konstruktion eines beliebigen orthogonalen Flächen- 

 systems. 



Da 1^1 d'a = 0, 2"« d' cc = ist, so folgt d'n : d'ß : d'y = a: ß': y und hieraus 



fZ'ß = a.^dd'tt, etc. Daher ist das operative Polynom d'd = Id' a^^^ lad' aycd' , 

 und es wird dadurch {d . d')W= d'idW) — Ead'a. X d' W. Wenn also die Funktion 

 Tf der Bedingung (d . d')W^ genügt, so ist mit Rücksicht auf die Formel (21) 

 überall auf der Fläche 



d\dW)==^f^- d'W (27) 



