— 189 - 



Man wähle nun eine ganz beliebige Fläche, ziehe alle ihre Krünimungsiinien, nehme von 

 diesen zwei sich im Punkt A kreuzende l, V heraus und verfüge nach Belieben über 

 die Werte der Funktion TF, welche diesen Krümmungslinien entlang stattfinden sollen. 

 Entspricht die Krümmungslinie l der Richtung (a, ß, y), so kennen wir derselben entlang 

 die ^^'crte von dW. Auf der andern V liege A^ unendlich nahe bei .4, und es gehe 

 durch .-1, die auf l folgende Krümniungslinie ?,. Da TF längs V bekannt ist, so ist auch 



(7' ir in A bekannt; der Faktor -^-^—^^ ist auf der ganzen Fläche bekannt; folglich ist 



d'{dW) in A bekannt. Aber dW in .4i ist gleich dW m A plus AA^'Xd'{dW) in A; 

 also ist fHF in .-1, bekannt; und da W in A^ bekannt ist, so kennen wir, wenn A^ ß, ein 

 Element der Krümniungsliuie Z, ist, auch IT in iJj (^ TT in Ai^ A^B^'X dW'm Ay). 

 Die zwei successiven Ki'ümmungslinien l, l^ mögen von den aufeinander folgenden 

 Krünimungsiinien V , m , n, ... in die entsprechenden Elemente AB, A^B^; B C, B^C^; 

 CD, C, D,; . . . geteilt werden. Da W in B und in B^ bekannt ist, so kennt man d' W 

 in B, also vermöge jener Relation (27) auch d'{dW) in B. Aber dW in B ist bekannt; 

 man kennt also auch d W in 5, , und, da W in i?, bekannt ist, auch TF in Gy . Folglich 

 kennt man d! W in C, u. s. f. Man lernt so TF längs der ganzen Ivrümmungslinie ?i 

 kennen. Ist U eine unmittelbar folgende Krümmungslinie, welche T in A^ schneidet, so 

 wird man ebenso, vom Werte der TT' in .4., willkürlich beigelegt ward ausgehend, die 

 Werte der Funktion TF längs der ganzen Krümmungslinie l^ bestimmen können. Wird 

 dieses Verfahren fortgesetzt, so ist klar, dass die Werte der Funktion IF für alle 

 Punkte der Fläche durch die, welche wir längs der Krümmungsliiiien l und V will- 

 kührlich angenommen habeu, bestimmt sind. 



Ist jetzt w eine unendlich kleine Grösse, und wird TFw in jedem Punkte der 

 Fläche auf die Normale aufgetragen, so bilden die Endpunkte eine neue Fläche. Da 

 die Bedingung {d . fZ')TT'= erfüllt ist, so werden die Endpunkte der auf den Normalen 

 der ersten Fläche aufgetragenen Stücke, längs einer Krümmungslinie derselben verfolgt, 

 immer eine Krümmungslinie der zweiten Fläche bilden. 



Die zweite Fläche kann man wieder wie die erste behandeln und unter anderni 

 die beiden Krümmungslinien, längs denen über die Funktion IT' von neuem frei verfügt 

 wird, den mit l und V bezeichneten der ersten Fläche entsprechen lassen. Nun ist 



'i^ = l{Df) = DlL + l'^//^ = D'/^ = RDl + lDR, 



und zugleich 



folglich 



^=kDR-\adR^ a'd'R; 



X 



Dl == ccd\og R ~h ct'd'log R, etc (28) 



