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Man kennt also Dl, D ^i, Dv für jeden Punkt der ersten Fläche lindem 11'= -^|, also 



auch l, fi, V für jeden Punkt der zweiten. Wir sehen so durch die Bedingungen (28) 

 die entsprechenden Krümmungslinien der ersten, zweiten, dritten, etc. Fläche sich an 

 einander reihen, und dadurch die zwei andern Flächenscharen entstehen, welche mit 

 jener ersten Schar ein orthogonales System bilden. 



Ich behaupte nun, dass, wenn drei im übrigen beliebige Flächen gegeben sind, 

 welche sich in drei je zweien gemeinschaftliche Krümmungslinien orthogonal schneiden, 

 diese Flächen, ohne einer ferneren Bedingung zu genügen, immer einem orthogonalen 

 System angehören und dasselbe vollständig bestimmen. 



Vom Punkte A aus, in welchem die drei gegebenen Flächen sich schneiden, 

 gehen auf der ersten die Krümmungslinien l, l' und die der zweiten und dritten Fläche 

 gemeinschaftliche Krümmungslinie. Auf dieser schneide man von A an ein unendlich 

 kleines Stück s ab und ziehe durch dessen Endpunkt die zu ?, V successiven Krümmungs- 

 linien der zwei letzten Flächen; man kennt dann beiden l und V entlang die Abstände 



s = -p der genannten successiven Krümmungslinien, wobei der Wert von -^ = TF in A 



beliebig angenommen und so die unendlich kleine Konstante lu bestimmt werden kann. 

 Da somit die Funktion W längs zweien sich kreuzenden Krümmungslinien der ersten 

 Fläche bekannt ist, so ist sie auch nach dem, was wir vorhin gesehen haben, auf der 

 ganzen ersten Fläche bekannt. Man kennt daher auch die unmittelbar auf diese folgende 

 Fläche der ersten Schar. Für das Gelingen der Fortsetzung dieser Konstruktion braucht 

 bloss noch nachgewiesen zu werden, dass die Bedingungen (28) durch die zweite und 

 dritte der ursprünglichen Flächen schon erfüllt ist. 



Führt man statt des dortigen E das unendlich kleine normale Element s = jr 

 ein, so werden jene Bedingungen: 



i) A = —ad log s — a'rf'log s, etc.; also — d log s = aDl-\-ßD{i-\-yDi', 



oder 



d log s^^lDa + nDß + vDy (28 bis) 



Es handelt sich also darum, die Variation des unendlich kleinen Abstandes zweier 

 successiver Krümmungslinien l, l^ einer Fläche auszudrücken, welche längs l stattfindet. 

 Dieser Abstand, als Element der kreuzenden Krümmungslinie ?' sei 6', das Element von 

 l hingegen sei e. Vom Durchschnittspunkt A der Linien l, V aus schneide man auf 

 diesen die unendlich kleinen Stücke 6= AB, ff'= AA^ ab; die durch A^ und B gehenden 

 Krümmungslinien ?, und »t' bilden dann mit ^, T das Viereck ABB^A^, und es ist 

 B B^ — A^i= AB .dö'-^ öde'. Von der Variation der Richtung von B B^ im Ver- 

 gleich mit A Ai darf man absehen, weil sie wegen der orthogonalen Stellung dieser 



