- 191 — 



Viereckseiten zu der Basis .1 B in der Länge dieser Linienelemente nur eine Variation 

 zweiter Ordnung hervorbringt; deshalb darf man in obiger Differenz das Element B B^ 

 durch seine Projektion auf .4 A^ oder auf die Richtung («', /?', /) ersetzen. Man kann 

 also auch die Differenzen der Projektionen von B i?, und A 4, auf die Axen der x, y, z, 

 oder die ihnen resp. gleichen Differenzen der Projektionen von 4,5, und AB mit «', /J',y' 

 multiplizieren und addieren; die Summe wird 6 rf ö' sein. Da man aber nach der vorigen 

 Bemerkung von der Richtungsverändei'ung von B 5, absehen darf, so braucht man bei 

 A^B^ nur die Richtungsveränderung (weil bewirkt durch eine Längenvariation von BB^) 

 zu berücksichtigen und kann hingegen die Längenvariation (weil sie keine solche für 

 B Bi bedingt) vernachlässigen. Die Variationen der Richtungskosinus von A B sind 

 o'd'a, a'd'ß, o'd'y; als Länge kann man diejenige von AB oder a behalten. Demnach 

 dürfen statt der Differenzen der Projektionen von .4, 5, und A B auf die Koordinaten- 

 axen die Grössen a o'd'a, a a'd'ß, aad'y gesetzt werden. Multipliziert man nun mit 

 «', ß' , Y , addiert und lässt den Faktor e weg, so erhält man 



d = 6 (a'd'a + ß'd'ß + y'd'y). 



Vertauscht man hier «', ß' , y , o , d' mit A, jt, v, s, D, so erhält man gerade die zu be- 

 weisende Gleichung (28 bis). 



Da die partielle Differentialgleichung (26) in Beziehung auf die Funktion ./' von 

 der dritten Ordnung ist, so muss ihre vollständige Lösung drei arbiträre Funktionen 

 enthalten. Diese Forderung ist durch die vorige graphische Konsti'uktion insofern er- 

 füllt, als die drei ursprünglichen Flüchen mit Ausnahme der Bedingung, sich in Krüm- 

 mungslinien und orthogonal zu schneiden, ganz willkührlich sind. 



§ 45. Anwendung/ der konfokalen Kontimia auf die Bestimmung des Masses 

 der durch ein Kontinuum zweiten Grades (mit lauter reellen Axen) begrenzten 

 Totalität und des begrenzenden Kontinuums selbst. Relationen zioischen voll- 

 ständigen Abelschen Integralen. 



Wir wollen das Element der «-fachen Totalität mittelst der Variationen der 

 Axenquadrate eines Systems konfokaler Kontinua zu bestimmen suchen. Es seien 

 A, B, C, . . . J die n Axenquadrate irgend eines Kontinuums des Systems, und wenn 

 n Kontinua die Lösung (:c, y, . . .) gemein haben, so mögen die Axenquadrate eines 

 jeden mit demselben untern Zeiger versehen werden, sodass die Zeiger 1, 2, . . . /; der 

 Reihe nach allen durchgehenden Kontinuen entsprechen. Ist jetzt rfs, das lineare Element, 

 welches der Variation (/ .4, entspricht, während A^, A._^, . . . .4„ sich nicht ändern, sind 



