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so hängt, da hier die Variabehi getrennt sind, der Wert von S' nur von beiden Grenz- 

 lüsungen ab, aber nicht von dem Wege, der sie verbindet. Es wird daher vermöge 

 (1) im allgemeinen für irgend einen aus reellen Elementen zusammengesetzten Weg 

 immer sein J' ds > S, und nur dann ( ds = .S*, wenn 



ist. Also i.st dann der Weg, der diese Proportionen zu seinen Differentialgleichungen 

 hat, der kürzeste zwischen den zwei gegebenen Grenzlösungen. 



Der kürzeste Weg muss ein Strahl sein. Ein solcher wird von ii — l konfokalen 

 Kontinuen des gegebenen Systems berührt; ihre ersten Axenquadrate seien ?(.,?{„... ?(„. 

 Dann gelten, wie wir bereits aus § 41, V, Gl. (6) wissen, n — 1 Gleichungen von der 

 Form 



A^^^i + :4;^t "^ "^ Ä^^ ^ ^' ^^^ 



wo zu ?{ nach und nach die Zeiger 2, 3, . . . n zu setzen sind. Die Realität des Strahls 

 erfordert übrigens 



ö"^ 



A, > ?(, > 4, > 3I3 > • • ■ > .4,, _ , > %, > A... 



Vermöge der Proportionen ('5) sind die Gleichungen (4) als System von Differential- 

 gleichungen erster Ordnung, hervorgegangen aus einmaliger Integration der n — 1 

 Gleichungen zweiter Ordnung, welche die gewöhnliche Variationsrechnung liefert, auf- 

 zufassen ; und da sie 11 — 1 arbiträre Konstanten enthalten, so ist diese Integration die 

 aligemeine. 



Um nun untersuchen zu können, ob wirklich —,—,••• Funktionen von ie einer 



' Pi Ih •' 



Variabein sind, müssen wir zuerst A,, 1.,, . . . in Funktion der konfokalen Variabein an- 

 geben. Wenn wir das System aller n Gleichungen, durch welche die Grössen l bestimmt 

 sind, so schreiben 



= 1, 



l + <oA, ' l + o,A, ' ' l + <oA„ "' I (5-) 



wo zu 31 die Zeiger 2, 3, ... » hingehören, und w einen verschwindenden Faktor be- 

 deutet, so können wir auf das System (5) die aus § 41, II bekannten Relationen zwischen 

 orthogonalen und konfokalen Variabein anwenden, und bekommen: 



j 2 _ (l + <o Ai) (Aj -%)(Ai- 31,) . . . {Ai - 3I„) I ; = 1 9 ,n 



(Ai-A,) {Ai-A,)...(Ai-Ai^,) (Ai-Ai + ,)...{Ai-An)' '- ^^ •^t • • ■ «J 



