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wo iiocli w = zu setzen ist. Da der Ausdruck für j'i denselben Nenner und A,D,(',. ...J, 



zum Zähler hat, so sieht man sogleich, dass der Ausdruck für— nur die Variable Ai 



Pi 



enthält. Wenn wir fortan der Kürze wegen qt = ^ setzen, so ist 



7.- = 



AiBiCi...Ji 



{Ai- %) (Ai-%) . . . (Ai- %,) 



(Da unter den Faktoren des Zählers die i — 1 letzten, und unter denen des Nenners 

 die i — 1 ersten negativ sind, so ist q'! positiv.) Die Form dieses Ausdrucks giebt </. 

 als Abstand des Centrums vom linearen Tangentialkontinuum des quadratischen Kon- 

 tinuums {A,), welches durch seinen (imaginären oder reellen) Durchschnitt mit den ;i— 1 

 festen konfokalen Kontinuen (31) gelegt ist, zu erkennen. Da nicht einmal alle Kon- 

 tinuen (31) zu n — 1 verschiedenen Gattungen zu gehören brauchen, so kann sehr wohl 

 das einfache Kontinuum, in dem sie sich schneiden, imaginär sein; und wenn auch alle 

 (31) n — 1 verschiedene Gattungen repräsentieren, so muss erst noch das variable Kon- 

 tinuum (A.) der letzten noch übrigen Gattung (es kann nur ?= 1 oder i = « sein) 

 angehören, wenn das Perpendikel g, einer reellen Lösung entsprechen soll. In diesem 



Cd A ■ 

 einzigen Falle stellt das Integral -^ die Länge eines reell begrenzten Stücks der den 



n — 1 festen Kontinuen (31) gemeinsamen Krümmungslinie dar. Nichtsdestoweniger hat 



/dA 

 -^ in allen Fällen, die hier in Betracht kommen werden, einen reellen 



Wert und kann analytisch immerhin als zwischen zweien Kontinuen {Ä) derselben 

 Gattung befindliches Stück der reellen oder imaginären Krümmungslinie (3(i, 3(s, . . . 3(„) 

 gefasst werden. Wenn uns erlaubt wird, von zweien Wegen, welche durch dasselbe 

 Paar konfokaler Kontinuen gleicher Gattung begrenzt werden, den einen Projektion 

 des andern zu nennen, und wenn alle auf die einzelnen Variabein ^i, A-i, . . . A„ bezüg- 

 lichen Paare von Integrationsgrenzen von den zwei Grenzlösungen des Weges J d s 

 hergenommen sind, so ist der kürzeste Weg 



''-.rt+/t+-"+.('t w 



gleich der Summe seiner Projektionen auf die feste Krümmungslinie (31,1 '^U, ■ ■ • 3t„), 

 welche von allen v durch die Grenzlösungen gelegten Paaren konfokaler Kontinuen je 

 einer und derselben Gattung gebildet werden. 



Da p = q l, so geben die Proportionen (3) für den kürzesten Weg die Bedingungen 

 Y^ = l'd s, wo A, q, l mit den untern Zeigern 1, 2, ... n zu versehen sind. Die 

 Gleichungen (4) werden demnach 



/dAA ((jAA (d An\ 



A,-% ' A^-'ä ' ^ An-^ 



