- 199 - 



wo 'Jt nacli und nach mit den untern Zeigern 2, 3, . . . n zu versehen ist. In diesen 

 n — 1 Differentialgleichungen erster Ordnung sind die Variabein getrennt; sie können 

 also mittelst blosser Quadraturen integriert werden. Dadurch werden )i — 1 Integrations- 

 konstanten hereingebracht, sodass nunmehr die n — 1 finiten Gleichungen des kürzesten 

 Wegs 2 (h — 1) verfügbare Konstanten enthalten, was gerade nötig ist und hinreicht, 

 um die zwei Gruppen von je h ^ 1 Bedingungen, damit der Weg durch die zwei ge- 

 gebenen Grenzlösungen gehe, zu befriedigen. 



Wird der Anfangswert einer Variabein z. B. Ai beliebig gesetzt, so ist dadurch 

 der Weg noch nicht im geringsten näher bestimmt; denn dieser Weg muss im Verlaufe 

 jedes Weges, dessen ^l- kleiner ist, zweimal vorkommen. Wenn daher die Anfangswerte 

 der n Variabein ^i, .-12, • • • A,, so angenommen werden, wie es die gegebene Anfangs- 

 lösung verlangt, so zählt dieses nur für ii — 1 Bestimmungsstücke des Wegs. Wenn 

 nun alle Integrale mit diesen Anfangswerten beginnen, so sind durch die n — 1 Weges- 

 gleichungen 



J Ai-% 'ig, "•" J Ai-% ^(/, "•"■■■ """J ^„-31 '2qn " • • • • W 



fortan immer ii — 1 der Variaboln A,, A-,, . . . A„ in Funktion einer einzigen unter ihnen 

 und der ii — 1 Konstanten 31 gegeben, und diese letzten sind durch die Bedingung, dass 

 der Weg durch die Endlösung gehen soll, gerade bestimmt. 



dA 

 Es ist noch zu bemerken, dass wegen -5— ^= l-ds für ein positives Wegelenient 



immer auch seine Projektion ;;y— positiv zu nehmen ist. Das Vorzeichen der Quadrat- 

 wurzel q muss also immer mit dem des Differentials d A übereinstimmen. Wenn also 

 ein q durch Null oder Unendlich hindurchgeht und infolgedessen einen Zwischenwechsel 

 erfährt, so muss auch das entsprechende dA diesen Zwischenweclisel mitmachen. Hiermit 



ist nun auch der Verlauf der einzelnen Integrale in (8) hinreichend bestimmt; beim 



dA 

 Fortschreiten des Weges nämlich ist im Ausdruck ihi'er Elemente immer -^ positiv zu 



nehmen. Ein Durchgang des Faktors von d A durch Unendlich stört die endliche Be- 



schaff'enheit des Integrales nicht. Denn entweder rührt derselbe her vom Durchgang 



einer der Grössen A, B, . . . J durch Null; geht z. B. J durch Null, so sind ausser 



— p: = d . yj alle übi'igen Faktoren oder Divisoren endlich, und die Form d . \ J zeigt 



einen mit Zeichenwechsel des Inkrements, endlicher Faktor X \ J, begleiteten ununter- 

 brochenen Fortgang (z. B. Wachstum, wenn A — 21 positiv ist) des Integrales an. Oder 

 jener Durchgang rührt vom Verschwinden des rationalen Nenners A — 31 her; dann 



findet sich aber auch y A — 31 im Nenner von q, und da alles übrige endlich bleibt, 



d A I 



hat man nur — , = d\A — 31 zu beachten, was ebenso wie vorhin einen ununter- 



2 y^ - si ' 



brochenen Fortgang des Integrals anzeigt. Im letzten Falle ward vor dem betrachteten 



