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Durchgang A > 3( vorausgesetzt, und es ist aus dem Gesagten klar, dass auch nach dem 

 Durchgang wieder A>% sein wird. Ganz ähnlich verhcält sich die Sache, wenn anfangs 

 A <'ii ist; man hat nur d ]'''it — A zu beachten. Aus diesen Bemerkungen folgt, 1. dass 

 jede Variable A die ihr, sei es durcli ihre Gattung selbst oder durch Konstanten 9( der- 

 selben Gattung, gesetzten Grenzen niemals überschreitet, sondern zwischen denselben 

 oscilliert, 2. dass bei keinem der in den Gleichungen (8) vorkommenden Integrale je 

 ein Uebergang vom Wachstum zur Abnahme oder umgekehrt eintritt, sondern jedes 

 fortwährend wächst oder abnimmt, je nachdem die entsprechende Differenz A — 9( von 

 Anfang an positiv oder negativ war. 



Da man n — 1 algebraische Gleichungen zwischen den Variabein .1,, A^, . . . A„ 

 angeben kann, welche denselben Weg darstellen, wie die aus transcendenten Funktionen 

 zusammengesetzten Gleichungen (8), so sind jene mit diesen äquivalent. Werden die 

 Abelschen Integrale, welche im System (8) vorkommen, wie Argumente, und die ur- 

 sprünglichen Variabein Ai, Ai, . . . A„ als Funktionen derselben aufgefasst, so kennen 

 wir also n — 1 algebraische Relationen zwischen diesen Funktionen. Die Gleichung 

 (()) endlich lehrt uns die Summe von n andern Abelschen Integralen, welche mit den 

 vorigen in engem Zusammenhang stehen, in algebraischer Form kennen. Für n = 2 

 enthält die alsdann einzige Gleichung (8) das Additionstheorem für elliptische Integrale 

 der ersten Art, die Gleichung (6) für solche der zweiten Art. 



Wenn einige der konfokalen Kontinuen (91) verschwindende Axenquadrate haben, 

 so sind sie als lineare durch die /; — 1 übrigen Axen der Lage nach bestimmte Kontinua 

 aufzufassen, begränzt von einem in denselben befindlichen (n — 2)-fachen (|uadratischen 

 Kontinuum {{ii — 2)-faches Fokalkontinuurn), dem die übrigen Axenquadrate auch 

 dem Werte nach zukommen. Der Strahl oder kürzeste Weg rauss alsdann das (h — 2)- 

 fache Fokalkontinuum in einer Lösung treffen. Der Ausdruck für q vereinfacht sich 

 desto mehr, je mehr Kontinua 91 diese Eigenschaft haben. Ist z. B. 



J2 = 0, §3 = 0, 5, = 0, ...,£„_, = 0, £„ = 0, 



so wird 5 = y^, die den Kontinuen (9() gemeinschaftliche Krümmungslinie ist die Axe 

 der X, und die Gleichungen (6) und (8) erhalten die Formen: 





j^ + .r 



d V^2 



+ 

 + 



X^+J^+--+J 



dJAn 

 e/n 



= 0. 



