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Die erste dieser Gleichungen zeigt uns die Länge eines Stücks des Strahls gleich der 

 Summe seiner reellen Projektionen auf die Axe der x, welche von je einem Paare 

 durch die Enden jenes Stückes gelegten konfokalen Kontiniien derselben Gattung ab- 

 geschnitten werden; es ist aber wohl zu merken, dass die Elemente dieser Projektionen 

 immer mit dem Elemente des Strahles selbst zugleich positiv zu nehmen sind, wenn sie 

 auch auf der Axe der x bald in dieser, bald in jener Richtung auf einander folgen. 

 Die n — 1 folgenden Gleichungen haben Integrale, wie 



iT, — iA — B fJt — ^Ä—B ]'Ä~„ — }/a — B 



-i=^ — ; , • -7= — ; , -1=^ — ; , = COnst-, 



^A,-r-^Ä-B V^j+V^-Ü ^An + iA-B 



u. s. f., wenn man B durch C, D, . . . J ersetzt. Dies ist übrigens der einzige Fall, wo 

 alle jene sogenannten Projektionen auch der Lage nach reell sind. 



Indem wir wieder zum allgemeinen Fall zurückkehren, bemerken wir, dass die 

 Gleichungen (8) unter die Form 



zu bringen sind. Daraus ergiebt sich folgende Vorschrift für die Bestimmung des 

 kürzesten Weges zwischen zweien gegebenen Endlösungen. Man lege durch diese die 

 n Paare konfokaler Kontinuen der gleichen Gattung, nehme die Summe der Projektionen, 

 welche jedes Paar auf einer und derselben Krümmungslinie des Systems abschneidet, 

 wiederhole das Verfahren so lange in Beziehung auf successive Krümmungslinien, bis 

 man endlich eine gefunden hat, in deren nächster Umgebung die Variation jener Summe 

 sogenannter Projektionen verschwindet. Die Summe selbst ist dann die Länge des 

 kürzesten Weges, und jedes zum Strahl verlängerte Element wird die /; — 1 festen 

 Kontinuen des Systems, die in jener Krümmungslinie sich schneiden, berühren, wodurch 

 die Kiclitung jedes Elements, also auch der Verlauf des ganzen Weges hinreichend 

 bestimmt sind. — Es versteht sich freilich von selbst, dass diese Elemente sich alle zu 

 einem einzigen Strahle zusammensetzen; aber um der Uebereinstimmung mit dem Folgenden 

 willen haben wir dem Satze diese Fassung gegeben. 



Wir können das Gesagte durch eine einzige identische Formel für das Wegelement 

 ds ausdrücken. 



Wenn in den Gleichungen (5) die Grössen A,, L, ■ ■ ■ ^„ gewöhnlichen Variabein 

 X, !/, . . . entsprechen, so mögen m, ^i, w, /r, «j, . . . /(„ w den sonst mit p^, p,, . ■ ■ p„ be- 

 zeichneten Perpendikeln entsprechen. Es ist dann 



