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und daher im allgemeinen / ds > S sein wird. Nun reichen aber die » — « — 1 Be- 



d s 

 dingungen „„, = gerade hin, um die n — « — 1 arbiträren Konstanten ?( zu bestimmen, 



und dann zeigt wiederum die Formel (11), dass, wenn der Verbindungsweg durch die 



9 S 

 n — « — 1 Differentialgleichungen ^^ jräf = bestimmt wird, J' ds = .S' wird. Der so 



bestimmte Verbindungsweg ist also unter allen der kürzeste. 



Wir wollen noch einen ganz speziellen Fall erwähnen, wo elliptische Integrale 

 hinreichen, um einen kürzesten Weg auf dem allgemeinen quadratischen Kontinuum in 

 der «-fachen Totalität darzustellen. Es sei « = 1, (4,) das feste Kontinuum, §3 = 0, 

 ©1=0,..., 6„_, = 0, S3„ = 0. Sind v, w die letzten Variabein, so ist die den Kon- 

 tinuen Ai, 9I3, %, . . . 9{„ gemeinsame Krümmungslinie durch die Gleichungen 



y = 0, 2 = 0, . . ., r = 0, £ + *JJ = 1 



bestimmt, also eine Ellipse. Diese wird von allen Kontinuen, welche nicht zur ersten 

 Gattung gehören, geschnitten. Alle it — 1 Projektionen eines Stückes des kürzesten 

 Weges sind also Bogen der genannten Ellipse und reell vorhanden; es ist(/'=.4 J: (A—Ai), 



#"-+JtF^'*^. + .--+/J-)/5^^a, 



und die n — 2 Wcgesgleichungen sind 



Ji )^ f +.R- F^ x- + ■ ■ ■ +Ji fe^ - - »• 



B.. 

 etc. 



r 1 ]/ A,-A, f/^ , n ]/ A,-A , dA, I (' L ]/ ^"--^. 



J -2 \ A, J, H, ~^J '■If A,J, JI, ^ '^J ^2\ A.. J„ 



'^^ = 

 H., 



Die Formel (11), aus der wir bei der allgemeinen Aufgabe die Minimum.s- 

 bedingungen, in Forin von Differentialgleichungen erster Ordnung mit getrennten Va- 

 riabein, unmittelbar ablesen konnten, ersparte uns den für solche Zwecke gewöhnlichen 

 Gebrauch der Variationsrechnung, welche zunächst auf Differentialgleichungen zweiter 

 Ordnung führt, deren erste Integration schon sehr schwierig erscheint. \Vir wollen 

 nun zeigen, wie auch diese ziemlich leicht ausgeführt werden kann. 



Sind .4,, An, . . . Aa die ersten Axenquadrate der festen konfokalen Kontinuen, 

 auf deren Durchschnitt ein kürzester Weg angegeben werden soll, so giebt die Variations- 

 rechnung folgende Bedingungen zweiter Ordnung: 



