— 205 — 



"S-l^^+t+'-'+i)-'-'! (12) 



etc., 



wo /(,, h,, . . . lia zu eliminierende Konstanten bedeuten. Da eine der Gleichungen (12) 

 eine vollständige Folge der übrigen ist, so ist nach geschehener Elimination die Zahl 

 der wesentlichen Gleichungen u — a — 1. Die erste Integration wird also nur dann 

 vollständig sein, wenn sie eben so viele arbiträre Konstanten einführt. 



Es seien nun 5(, S, ©, . . . 3 die konstanten Axenquadrate irgend eines mit den 

 gegebenen konfokalen Kontinuums; man multipliziere die Gleichungen (12) erstens mit 



■^ . £ . • • V zweitens mit S^ ' ^4- ' • • •' und addiere; man erhält so die zwei Gleichungen 

 91 33 51 «s !öas 



y X j dx _ ( ^ X- \ I hl Ih , . . . _j_ ^'« \ fi , 



, dx _ V ^i^ >/ ( ^'i , ^'» _| I _J^_ "i d s 



VI f?i" 



und hieraus durch Elimination des die Faktoren /( enthaltenden Aggregats und nach 

 gehöriger Reduktion : 



Wir haben also ein erstes Integral U = const. gefunden. Es muss aber auffallen, dass 

 für die Darstellung eines und desselben Weges alle beliebigen Werte der Konstanten 31 

 gebraucht werden können. Man kann nichts anderes daraus schliessen, als dass die 

 Integralgleichung in Beziehung auf 9t identisch sein müsse, sobald x, y, . . . in Funktion 

 einer einzigen Variabein, wie es der gesuchte Weg verlangt, ausgedrückt sind. Be- 

 trachtet man nun die Grössen x, y, . . ., ;^ . ^ > • • •> welche irgend einem Wegeselement 



et s (l s 



entsprechen, als gegeben, so findet man U, mit Weglassung der sich aufhebenden Glieder, 

 als ein Aggregat von Brüchen, deren Nenner teils einfach 3(, 3?, . . ., teils Produkte, 

 wie 9(33, sind, während in den Zählern 3( gar nicht vorkommt; setzt man 3( unendlich 

 gross, in welchem Falle die Verhältnisse 31 : 33 : ß : . . . unendlich wenig von der Einheit 



abweichen, so reduziert sich f/ auf ^ . Daher ist U = cp (31) : 31 33 6 . . . 2, wo (p eine 



ganze Funktion (« — l)-ten Grades bezeichnet, dei'en höchstes Glied den Koeffizienten 



1 hat. Setzt man 9( = Ä„ A,, . . . Aa, so wird 2; ~ — 1 = 0, 2; J~ = 0, also Z7= 0. 



Wir kennen also schon a Wurzeln der Gleichung (p (3() = 0, die )i — 1 — « übrigen 



