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Erstreckt sich die Integration von Ö = bis ö = 1 , so hat man endlich 



•^ [{X -af + i!/- br+--- + (w- >)']'- 



r^i^( "-" + ^°' +•■•+ '' \ 



•(f-) 



yiA + v) (B + u) {J+u) 



wo als untere Integrationsgrenze der Wert von », für welchen der Zähler des Bruchs 

 vorschwindet, wenn jener positiv ist, sonst aber der Nullwert zu nehmen ist. — Dieses 

 Resultat stimmt mit § 49 (4) überein. 



d-P 



§ 52. Ueher die algebraischen Lösungen der Gleichung -g— ö = M P. 



Es scheint etwas schwer, mit Sicherheit die Zahl der verschiedenen Formen der 

 ganzen Funktion / anzugeben, welche der identischen Gleichung (1) in § 50 genügt, 

 wenn ihr Grad und die »; Axenquadrate, aus denen das Produkt K besteht, gegeben 

 sind. Da die Koeffizienten der höchsten Potenzen in / und M bekannt sind, so gehen, 

 wie wir schon gesehen haben, aus (1) nur -\- n — 2 algebraische Gleichungen zweiten 

 Grades zwischen den an Zahl gleichkommenden übrigen Koeffizienten hervor. Das System 

 derselben hat also höchstens 2" *^"" ' Lösungen. Da aber die Gleichungen eine sehr 

 spezielle Beschafl'enheit haben, so kann man wohl vermuten, dass diese Zahl zu hoch 

 sei, und braucht nur für die ersten ganzen Werte von 0, r^ die Rechnung auszuführen, 

 um diese Vermutung bestätigt zu finden. 



Um dem wahren Sachverlialt näher auf die Spur zu kommen, wollen wir die un- 

 bekannte Funktion 31 dadurch eliminieren, dass wir für die Variable nach und nach alle 

 ihre Werte substituieren, durch welche /=0 wii-d und deren Zahl offenbar ist. Sie 

 treten als die Unbekannten des Systems an die Stelle der an Zahl gleichen unbekannten 

 Koeffizienten der Funktion /; und da die Zahl der Gleichungen, die wir so erhalten, 

 ebenfalls ist, so reichen sie zur Bestimmung der Funktion / gerade hin, und dann 

 ergiebt sich die andere unbekannte Funktion M aus der ursprünglichen Gleichung (1) 

 von selbst. 



Es sei also dÄ = dB = dC = ■ ■ ■ ^ du, f (m) = (u — a) {u — ß) . . . (« — D, 

 R-=KL=H{u), ri K' L-\- KL'= 4 J (n), wo i/, ,/ resp. als Zeichen von ganzen 

 Funktionen ii-ten und (» — l)-ten Grades gelten mögen. Dann ist 



ifa .y"« + 2.7« ./'«== 0, etc. (^ Gleichungen) (9) 



