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daher wird, wenn man abkürzend 



-. «■•H«-,J/?^ v.,,v« 

 ' « — ß 



setzt, die erste Gleichung (9) 



-% - l-f (« + /m ) '% - 2 + («'+ k « + h) S(j-3-\ h («'^ - '+ /.-, «'^ " '-^ 4- />ö ^ l) '^0= 0, 



und die übrigen Gleichungen des Systems (9) entstehen aus dieser, indem man nach und 

 nach a durch ß, y, . . . Z ersetzt. Das System (9) ist also zu einem Systeme von 

 linearen Gleichungen in Beziehung auf die ö — 1 unbekannten Verhältnisse der Grössen S 

 geworden. Wenn also diese Grössen nicht verschwinden, so muss die Determinante ihrer 

 Koeffizienten es thun. Diese reduziert sich aber auf die Determinante 2'+ «^ ' /3^"^ y''"^. . .e' S" 

 = JT (« — ß). Man hat also nur die Wahl, entweder alle Grössen S als verschwindend, 

 oder in der Gleichung / = gleiche Wurzeln anzunehmen. Das letztere als etwas 

 Spezielles setzen wir einstweilen bei Seite und entscheiden uns für das Erstere, dem 

 allgemeinen Fall Entsprechende. Wir haben dann die Gleichungen .S'o, iS',, S2, ■ ■ .■<Sg_i= ; 

 und wenn diese Statt haben, so ist auch das System (9) erfüllt. Man bemerke, dass 

 diese Gleichungen, deren Grade resp. n — 1, n, n + 1, . . . , )i + — 2 sind, in Beziehung 

 alle Wurzeln «,/?,...£ symmetrisch sind und daher rational und ganz mittelst der 

 Koeffizienten k^, tj, . . . kß ausgedrückt werden können. 



Das Produkt Ä' kann auf (") verschiedene Arten aus den Axenquadraten A, B, . . . 

 zusammengesetzt werden. Wenn also wiederum der Grad der ganzen und rationalen 

 Funktion PP in Beziehung auf A mit «t = 2 ö + ij bezeichnet wird, so ist 



-^("^r^)(„-,.)=^(-i/(-r') (»-,.) 



die Zahl der einem gegebenen Grade entsprechenden Funktionen P. Sie ist also der 

 Koeffizient von x'" in der Entwicklung von (1 — «')"" + ' (1 +a;)" nach steigenden Potenzen 

 von X. Dieser Ausdruck reduziert sich auf (l + x) (1 — a;)~" + '. Die fragliche Zahl 



ist also gleich 



r;"')(-»"+(-r,')(->i"--r:"ri+r:"r')- 



§ 63. Darstellun(] geunsser arbiträrer Funktionen von n — 1 unabhängigen 



Variabein. 



Es sei (p eine beliebige Funktion, deren Werte für alle auf dem quadratischen 

 Kontinuum j "l' r + • • • = 1 befindlichen Lösungen bekannt sind, also, wenn man will, 



