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Um die, wenn ich niclit irre, von Catalan gegebene Formel zn beweisen, i<ann man mit 



C"'e-(x + !,+ -- + «')H„a + /i+...+r-i^/„ ^ p^^_±, ß_^ ug^ multiplizieren, iix, in/ uiv 



in x, )j. . . . IC umsetzen, und endlich, da x -\- y + • ■ ■ J- tt; = ?( sein muss, du durch dx 

 ersetzen; das Integral zerfällt dann in ein Produkt von n einfachen Integralen. 



Setzen wir in der vorliegenden Formel x ^= l', y = jt", . . . w = w", so stellt die 

 Bedingung A"H-.u'"-l- •••-{- w"= 1 ein polysphärisches Ivontinuum dar ; das (/; — l)-fache 

 Element (/fi (/)•. . .do) ist daher eine Projektion des Elements dö dieses Kontinuums und 

 hat den Wert A d6. Wir bekommen so : 



a>o, fi>o,...(o> o,\ 



II. Wird der Kürze wegen ^ = Tr+/7^""'~l""7 gesetzt und bedeutet t eine 

 beliebige Funktion von n Variabein, so soll das Integral 



üj \ do 



(' / A ,(( (u \ do 



verwandelt werden. Setzen wir für diesen Zweck- g- -^^ = 1, so kann das Integral auch 

 unter der Form 



J »•"-' dr •' 



()•■■= a;"+ y"+ • • ■ + w", x = rX, etc.\ 



dargestellt werden. Bedeuten i|',, jf-,, . . . i/'„ die ersten abgeleiteten Funktionen von 4-, 

 so ist 



1 d . r" tp ,111,1 II 



■^:;^irT-Q^ = Hi/' + a;i/', + 2/4'2H hwi^'„, 



und, wenn x = x]IA, y = y'Vß, . . ., x = r'X , y' = r',u', . . . angenommen wird, 



1 d.r'xp , , . (vaI A , , 'i/TJ / _L ^ 1 8.y'"i;/G-Ty i, r VV5,...) 



t;^ -g^ = ütt- -f- r [i yA .i\+^ \B . t^.+ ■ • •) = y^, a^-^ 



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