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Setzt Klan in (4) /3 = y = • • • = e = -, , und erstens « ^ ^^ , zweitens « = ",, , so erhält 

 man die zwei Formeln 



n 



51^^ r* »'"^du 



- + - + 



wo nunmehr die Integrale links sich über das ganze polysphärische Kontinuum erstrecken. 

 Setzt man i = 1, so ergeben sich die in § 49 gebrauchten Reduktionen. 



hetzt man in (4) A = -= , u = -^ , . . . w = -= , so ist -r + 't, + ■ • • -f- -? = 1, 



und das Integral links erstreckt sich über denjenigen Teil eines quadratischen Konti- 

 nuums, wo alle Variabein zugleich positive Werte haben. Nach der üblichen Bezeich- 

 nung wird dann 



IZ.(.i — /jj"+^ '^ r(«)r(;j)... r(t) /•* H'~^du 



(«) 



wo links unter den Axenquadraten A,,,, B,„, . . . J„, die m — 1 letzten entgegengesetzt zu 

 nehmen sind, damit alle positiv erscheinen, und wo ^ = {Ai — .4;j) (.42 — A^ . . . (A, — *4„) 



X----x(^„-i — Ä,), wo ferner rechts das Produkt TI . {A — B)'^*^^'^ so viele Fak- 

 toren zählt, als die Grössen A, B, C, . . . J zu zweien kombiniert werden können. Die 

 linke Seite zerfällt in ein Aggregat von Produkten von je n — 1 einfachen und voll- 

 ständigen Integralen. 



Richtet man für ii = 3 die Exponenten «, ß, y, i so ein, dass vollständige ellip- 

 tische Integrale herauskommen, so scheint trotz aller noch möglichen Mannigfaltigkeit 

 immer nur die bekannte Legendre'sche Relation, i^(/.) E{k') + F(k') E{l:) — F{li) F{k') 



= ^ , ans (tt) hervorzugehen. Setzt man z. B. a^ß^y— ^,i=l, 1/ . _ „ = Ic, 



"2 j^ = k' , -j = COS" 0, und bezeichnet das vollständige elliptische Integral dritter Art 



1 dv 



durch 77 (n, k), so verwandelt sich (6) zunächst in 



Y. 



H-Msin^a; Vi _ ä;'' sin^ a; 



