169 



170 



(juf flnfti unfic^tbarcti , nie irwnben Xigfbraiflen tjinjurocifm, 

 bft brn Sßftft) bc« S)Jfnfd)en migt, rornn foldjen bie Äußeren 

 GJütet unb bec Ccib fclb(i ccclaffen fjaben, bep bem bie fleine 

 Öpfcrgabe bec Söitroe ju einet gtogcn iai)l rcitb, wenn mit 

 Umfefjtung ber äeidjen, bie Cajlen, roeld)e fte gebtüdt tjaben, 

 üi üenne^rcnbe ®t6pen umgeroanbelt roetben , cot bem aber 

 aucf) bie Sl^atcn bcc CWiidjtigen fUin werben, tvenn (le oermin» 

 bect meiben um bie 2ai)ittt, burd) weldje äupete ©üter fie un: 

 tcr|}ügt fjaben. 



Bie ^ieroglpp^en ber alten TTegijptec jeigen ^dufig iai 

 3(mt be« a:ottenttd)tcc« butd) eine SBaage »erfinnlidjt, bep ber 

 oud) , reie bep einer algebraifdjen ®leid)ung, SSefannteS unb 

 Unbefanntfö auf oerfdjiebenen Seiten ftc^ befinbet, »cldje butdj 

 eine S3tücEe »erbunben finb. 



"iibtt bie i)H)eti SJlatI)emntif gibt I)iet eine nod) tiefer 

 gcf)enbe ^ierog[i?pt)e. di i|l aud) benfbar, ba§ bei; fortfd)rei= 

 tenber Jfnnäbetung ber 3}ölfet an einanber bie fortbauetnbe 

 Trennung betfclben , bucd) bie »erfdjiebenen ©pradjen mefjr 

 nod) aii jffet 9efül)!t, baß Sebürfnip n«d) einer, burd) ©prad)» 

 laute nid)t »ermittelten, ben SBeifcflen aUct 93ölfcr oerfldnblidjen 

 3etd)enrprad)e für bie i)öf)ecen ©egcnjiänbe beg ^GBifTen* (jeroot; 

 tufen rcirb, bep molc^ec bie bereits allgemein bekannten S3ud): 

 flaben unb 3'iblen bie Sotm, bie ©pmbole ber ?OTatf)ematif 

 aber ben 3nnt)alt fjcrgeben reecben. 68 i)! mögtid), baß bann 

 tticber Sempet , gejiert mit fold)en Silbern ber überfinnlidjcn 

 SBelt, ertid)tet rcecben, mit 3eid)en, bie nidjt bloß ber @egcn= 

 Watt unb ber nt^d)(len Umgebung oetfianblid) finb, fonbetn allen 

 Seiten unb SBolEecn, unb baß fo bie 9)Zcnfd)f)eit julefet, burd) 

 alle @d)d§c ber 2Sin'enfd)aft beteid)ett, auf jene 'iivt ber 9J?itt 

 tl}ei(ung jucücffommen wirb, mit ber fie in tt)rer .$linbl)eit bf 

 gönnen f)at. 



Bie größere ©d)roierigfeit f)at bie 2Bi|Tcnrd)aft bann ju 

 fibeticinben, rcenn in ber @leid)un9 bie unbcfannte 3iit)l ni^t 

 finfad) oorfeanben if}, fonbern jrcep= ober mcl)tfad) mit fid) fclbjl 

 multipliciect, in ber jirepten ober mcf)tfad)en ^otenj, reäf)t«nb 

 ber entfpredjenbe SSettf) nur in ber ec|ien ^otcnj t)otf)anbcn 

 Ijl, «0 bann, um ben roaf^ren SBertl) ber potenjietten nnbe^ 

 fannten ju ft'nbcn, bie 2Burjeln ber entfpced)enben SSett^e ges 

 funben werben muffen, bie Guabratmucjcln, rcenn bie unbe= 

 fannte 3«t)' <iuf bie jiDcptc ^otenj erhoben ift unb bie §u= 

 bifrourjel, rcenn fold)e auf ber btitten fi'd) befinbet, baS Ijeißt 

 bicjenigen 3af)I«n , rceld)e mit fid) felbfl multipliciett bie ein» 

 fad)e 3'ii)' gebfn. 



G« fommen aber biefe ^Jdlle in ber i)öt)nm 9Jfatf)ematif 

 fef)t l)auf[g t)or, »iel f)(^ufigfr alä bie onberen, rceil e6 fet)r 

 toenige gäUe in ber einfadjen 9veif)e ber 3af)len gibt, bie felbfl 

 fd)on ^otenjen pon 3ai)len finb, rcie j.SB. »on 2 bie 2te ^0= 

 tenj 4 ifl, bie 3te 8, bie 4te 16, bie 5te 32, alle bajroifdjen 

 liegenben 3at)len aber auffallen, unb rceil, je complicierter bie 

 58ert)ältniffe finb, in bencn bie unbefannte 3'il)l ^ fic^) bercegt 

 unb befc<)rieben rcirb, beflo öfter biefelbe mit pd) f^elbjl jufammen» 

 fommt, unb ju einer TOultiplication mit fid) felbfl, ju einer 

 ^otenjiecung 9cbcad)t rcirb. Biefe ^Butjeln ber 3al)len, bie 

 felbfl feine ^otenjen finb, ju finben, ifl aber eine ^auptauf= 

 gnbe unb eine befonbere TTrbeit. di finb biefelben feine ganjen 

 3at)len unb aud) feine Srüd)e, fonbern unenblidje 5Hei()en »on 

 3a(ilen, bie fid) einer ganzen 3a^l immer me^c ndE)etn, abe» 

 Z[ii 1S42. ^eft 3. 



erfl in ber Unenblid)feit mit foldjet jufammenfallen, SKan 

 nennt biefe unenblid)en 3af)len 3rtntionaljal)len, fönnte 

 fie aber aud) nod) unpoKfommene, nad) einet SSoUenbung 

 flrebenbe @r6ßen nennen, 



(5in Sepfpiel einer fold)en unootifommenen 3tif)t ifi bie 

 £luabratrcurje( ber 2at)l 2, b. l). bie 3«i)t, weldje mit firf) 

 felbfl multipliciett 2 gibt. Bie 9ied)nung gibt 



1 + ^ - i + iV - ^\e + sV 



unb fo fort bi« ing Unenblid)e. <So oft man Bon biefet SSeifie 

 ein ©lieb roeitet nimmt unb bie Summe allet ©liebet mit fid) 

 felbfl multipliciett, fo oft fommt man ber ^ai)i 2 nd^er, ohne 

 bod) jemalö foldje ju erreid)en. Benn 1 -|- ^ gleid) | mit 

 fid) feibjl mutipliciert gibt |, alfo J juoiel, 1 -|- ^ — I po« 

 tenjiert, gibt »^^i, alfo ^ weniger al8 2, roo alfo nur unge; 

 fdl)r -J- fel)lt, unb fo fort. «So finbet man bep gortfcgung bet 

 Scredjnung für bie Sluabratiourjel pon 2 aud) eine 5Reif)e, 

 beten etfle ©lieber fcfcnellet bie ^nnäf)etunvi geben, nefjmlicl) bie 

 $Sfif)en 1 + t'^t + TöTT + ir?öTT + tttW- "bei ben un= 

 enblid)en Bejimalbcud) 1, 414213. SBenn man bie jrcep etflen 

 ©liebet abbiett unb bann multipliciett mit fid) felbft, fo et^dlt 

 man 1 u. j%*(j, roa« »on 2 nur um 5*5 abrceid)t. 



5fuf gleidjc 3(tt läßt fid) bie btitte SButjel ber BaU 2, 

 ne{)mlid) bie Bai)l, rceld)e bcepmal mit fid) felbfl multipliciett 

 2 gibt, nur turct) eine fold)e unenblicl)e 3iil}lfnteil)e auäbtücfen. 



(5ben fo »erf)Alt e8 ftd) mit ben ©utjeln bet 3<if)t 3, 

 unb fo bep allen 3>ib'fn, bie nid)t felbfl ^otenjen finb. S8on 

 ber 3a()l 3 ergibt fic^ bie 5Hei()e 9, 27, 81, 243, »on 5 bie 

 9Jeibe 25, 125 uff. ©old)e unenblid)e 5Keil)en erl)(5lt man 

 fd)on, rcenn man eine ganje 3af)l biüibiert butcf) einen au8 2 

 Sljeilen befteftenben 9lennet a butd) l — b ober butd) l-{-b; 



benn ^ ■ . roitb a — ab -4- ab** 4- ab^ 4- ab*, unb r 



1-f-D 1 — D 



«itb a -)- ab 4- ab« 4- ab» -\- ab* uff. 



Wlit Scflttunen fel)en rcir fo bep weiterem Ginbtingen in 

 bie 9)?at^ematif biefe enblofen 3if)lenreiben, bie in übetrodlti: 

 genber CWenge au8 ben einfadjen »oUfcmmenen 3«I)lfn bep bet 

 SSectIjeilung unb Bepotenjierung i)erBortreten, 9?eif)en, »on benen 

 jebe einjelne »oUfldnbig entrcicfelt, balb ben JRaum unfcreS Si» 

 fd)e8, bann unfere8 S'i'n'ft* u"b am 6nbe ber ganjen 6rbe 

 ausfüllen unb bod) ju feinem (Snbe fommen würbe. Wu (5t. 

 flaunen bemetfen wir, weld)e 5J)?affen »on Unenblid)feiten in ben 

 »oUenbeten einfad)en 3ablfn bem gerc6l)nlid)eten Sinn »erbot: 

 gen tuljen, unb wie nid)t nad) einet f)dufigen finbifdjen 93or= 

 flellung ba8 Unenblicl)e etfl beginnt, wenn bie »oUenbeten 3af)' 

 ien in unübetfebbaten .f>aufen ouf einanbet get^ürmt werben, 

 fonbern wie bie Unenblic^feit at8 SEBurjel alle« (Snblidjen in ben 

 cinfad)en 3af)ten überall mitten unter un8 fict) befinbet. Sd)on 

 bie dlteten 9)jiU[)ematifet fjaben in biefen in8 Unenblid)e fort 

 nad) einet ganjen 3al)l fltebcnben 9Jei()cn ein Silb be8 unftetb; 

 lid)en @ei(le8 gefunbcn unb J)6l)ete 3(nfc^auungen bamit »et» 

 bunben. 



giocf) bet betül)mte ?i)?atf)ematifet, ^rofeffot Ädflner, 

 beffen geiflteid)er !IBi| oft in bie X\efe gef)t, finbet in ber SSor; 

 tcbe JU ber Ginleitung in bie Tfn.ilpfiS be8 Unenblic^en in bem 

 ®efe6 einer fold)en SJeibe, ba8 fd)on in ben erflen ©liebern er. 

 fennbor, in allen folgenben fic^ wieberi)olt, ein 83ilb bet unenb 



11* 



