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Neue approrimative Ausdrücke für den natuͤrli⸗ 
chen Logarithmus. * 
Vom Grafen Georg von Buquoy. 
Wir hatten (Gleichung 6) 
wu m (m - i) 
* 21 Nn 
mim — ) (m-) 
* — 924 
+ RK)? E enge 
2 . 3 
Bezeichnen wir nun durch @ eine Zahl, die zwar veraͤn⸗ 
derlich iſt, aber innerhalb ſolcher Grenzen (von 0 an bis zu 
ihrem größten Werthe) bloß, daß w allemal nur ſehr unbe⸗ 
deutend ausfaͤllt, und zwar: in dem einen Falle gegen die 
Zahl 2, in einem andern gegen die Zahl 3, in einem andern ge⸗ 
gen die Zahl 4 u. ſ. w., ſo daß man nehmlich naͤherungs⸗ 
weiſe allemal ſetzen kann: 
2 K == 2, 35 40 e 3, 44 = 4 u. ſ. w., fo laßt 
ſich approximative behaupten: 
wenn x 2 + & ausdruͤckt, 
(a — 1)2 
a Sıta-)x4+ E=. 
wenn 3 + o ausdrückt, 
r (a — 1) 
'a ta =) x x(x—ı)+ 
4A "ra = 
wenn & = 4 T. o ausdruͤckt, 
See 
+ E ee 
E * 
＋ 354 
u. ſ. w.; und allgemein: 
wenn X = o ausdrückt, wo c eine ganze Zahl 
und o innerhalb ſehr beſchraͤnkter Grenzen veränderlich iſt, 
wodurch es allemal gegen verſchwindet, 
8 a — 192 
S . X (X — 1) ＋ 
2 
A = )k- a3). 
e 
* 
4 ce = ο = A 
* 
— — 
„ Die in dieſem Auffage citierten Gleichungen beziehen ſich 
auf den frühern Auffag: Ueber eine ſehr allge⸗ 
meine Methode zu inter polieren. Iſis 1827. H. XI. 
—— 8 . 7 
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e 
Hier ſieht man leicht ein, daß man fuͤr die Bedingniß der 
Annaherung zur Wahrheit in obigen Gleichungen o, von 
dem Werthe — 0 ausgehend, die Graͤnzen feiner Veraͤn⸗ 
derlichkeit erweitern darf, fo wie c großer wird, das heißt, 
daß der größte erlaubte Werth von o zunimmt, wenn c zunimmt, 
daß es immer darauf ankommt, daß jener größte Werth von @ 
gegen © verſchwinde. Es behauptet ſich alfo x mit um fo gegrün⸗ 
determ Rechte als veraͤnderliche Größe, je größer c ift, da 
x Tao iſt. Oder, die Betrachtung anders dargeſtellt: 
— ct. 0 Ude 
Es ſey a a die der Abfeiffe x einer Curve entipre 
chende Ordinate, ſo gibt die letzte Gleichung um ſo mehr den 
8 le * 
2 (a — 1) .. * 
* 1 4 
approximativen Ausdruck für au, je größer c iſt; denn je 1 
größer c ift, deſto mehr darf o + o den Werth von g über 
ſchreiten, oder hinter dem Werthe von c zuruͤckbleiben, deſto be⸗ 
deutender iſt alſo das Gebiet der Veraͤnderlichkeit 
von x. 5 
ö 
N 
{ 
A * N 
Dieß vorausgeſetzt, wird alfo A (a ) um fo richtiger 
aus letzter Gleichung ſich entwickeln laſſen, je größer ciſt, 
und da das Differenzial einer Function immer nur aus deren Dif⸗ 
* 
ferenzausdruck entſpringt, fo wird -auch d (a ) um ſo richti⸗ 
ger aus letzter Gleichung ſich entwickeln laſſen, je größer 
€ ift, 
Wir haben daher: 
* 
a dx. log: nat: 
= A („ = k 
* 1) dx, 
oder richtiger: a 
a dx log nat: 2 = 4 =) dx ＋ 
* N" (ex = 9 48 4. 
+ ge 3 2) d, 
oder noch richtiger: - | 
4 dx . log nat: a = ＋ (a — 1) dx + 
Een d . 29 K 10 
e e 0 d f 
Be 9 f 1 
*. e ee a, 
oder noch richtiger: 
| 
1 
* , 2 
a» dx, log: nat: a = u. ſ. w. 
