* 
. 
1205 | Er 2% —,— 
Die Bezeichnung + aller Glieder obiger Gleichungen be⸗ 
zicht ſich darauf, daß, wenn a 1 iſt, dla )— + if, 
daß hingegen d (a) = — wird, wenu a<ı ift. Iſt daher 
a>ı, fo find alle Glieder pofitiv; iſt hingegen a< 1, fo 
find alle Glieder negativ. 
cke für lag: nat: a, 
log: nat: u 
Aus obigen Gleichungen ergeben ſich, nach gehoͤriger Ne: 
duction, und dadurch, daß man, einmal x —= 2, dann 
* 3, dann X = 4 u. ſ. w. ſubſtituiert, folgende Ausdruͤ⸗ 
oder, um a als eine Veraͤnderliche 
auszudruͤcken, für log : nat : u [mobey die Bezeichnung + 
fi abermals darauf bezieht, ob u > oder < iſt. ]: ? 
TE uUr3.0% 
2 u? , 
log: nat: u 
oder richtiger: 
_#2+9-uF 18.0? f. li uz 
TR 6 . u 
oder noch richtiger: ar 
log: 35 ib. u 36 ur 48.u°+25.0* 
a ae Te ET 
oder noch richtiger: 
log: nat: u S u. ſ. w. 
- Segt man in obigen Gleichungen u = ı + f, fo zeigt 
fi), daß fie um fo genauer find, je kleiner ß ift, und daß 
fie vollkommen nahe werden, wenn man 8 = 0 ſetzt, das 
heißt, wenn u = ı iſt. 
1 Bezeichnen wir die Baſis der natuͤrlichen Logarithmen, 
nehmlich die Zahl 2,71828 18284, die wir naͤherungsweiſe 
== 2,72 ſetzen, durch e, fo erhalten wir: 
Nach 1ſter Gleichung: log: nat: e = 0,83 ſtatt = i, 
Nach 2ter Gleichung: log: nat: e S o,gı flatt = 1, 
Nach Ster Gleichung: log: nat: e = 0,95 ſtatt = 1, 
— — . > . 5 * * 
EVE 
Alſo beträgt der ſtets abnehmende Fehler: nach 1fter Glei⸗ 
chung = 0,17, nach 2ter Gleichung — 0,09, nach Ster Glei⸗ 
chung = 0,05 u. fr w., wobey log: nat: e allemal zu 
klein ausfaͤllt. E 
Ohne die Rechnung wirklich gemacht zu haben, glaube ich, 
£ 1 
es wuͤrde der Fehler nur ſehr wenig mehr als 10⁰ betragen, wenn 
man jene Gleichung nehmen moͤchte, wo log: nat: u bis zur 
10ten Potenz ausgedruͤckt waͤre, ſtatt bloß bis zur Aten zu 
gehen. 5 
Iſt mei und n 2, ſo if: 
D) ＋ n m i) (5 
+ 5 u (2) 
Setzt man n Su = 2 te, worin zwar o veraͤnder⸗ 
6 ＋ 0 * 
N f 1120 
lich iſt, aber nie ſo groß wird, daß man nicht naͤherungsweiſe ſa⸗ 
gen koͤnnte 2 + O = 2, fo iſt approximative: 
v ce Feser 
\ W und hieraus \ 
la. @+ 1. 6 80 K 
m 1 b 5m — i b 
＋ 3) 4 >= N wenn man 
wieder u S 2 ſetzt, fo iſt nach gehöriger Reduction: 
a 1 bye 
1. . = (5) 1. 6 0 4 
FE 
CCC 
(a ＋ b)? 
Iſt nun b nicht > a und m unendlich groß, fo folgt: 
I. n. (a T b) Sa. I n. 2 a 59. 
(a+b)? : 
Die hier erhaltene Gleichung wuͤrde der Wahrheit naher 
kommen, wenn man gleich anfangs für n eine größere ganze 
Zahl genommen hätte als 2, wenn man nehmlich u = 3 to 
oder noch beſſer u= 4 + c, oder noch beſſer u 5 ＋ , oder 
noch beſſer u. f w. geſetzt hätte, wie dieß aus ſchon weiter oben 
entwickelten Gründen folgt. Die hier erhaltene Gleichung, ob⸗ 
gleich beſchraͤnkt, iſt jedoch ihrer Simplicität willen von Werth; 
fie iſt, wie man ſich aus Verſuchen leicht überzeugen kann, nur 
dann naͤherungsweiſe wahr, wenn b gegen a ſehr klein 
iſt, und wird vollkommen wahr für b = o, 
Setzt man a = x, b dx, fo gibt obige Gleichung: 
lın.x+dx)=x’l.n.xtxdx+ = 
A erg We 
dx’ f 
In. X T , al in; n (X ＋ dx) - In. 2 
dx 
X 
— 
’ 
oder: 
N 1 
dl. n. Xx wie dieß auch wirklich fo iſt. 
Bekanntlich iſt l. n. (1 Ty) y * + Zu 
4 * * ® [5 * „ ? — » [3 e * * „ * * Ber 
daher 
75 r 1 1 . 
lın. (a ＋ a ) =], n.a+ 5 
