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m = o ſubſtituiert wird, wirklich I. n. u. 
5 In meiner fruͤher erſchienenen Schrift * hatte ich ſchon ei⸗ 
nen approximativen Ausdruck für den natürlichen Logarithmus ges 
e Son ee eo 
f ? Y m el 
Ju — 1 5 
I.n.u=m. (2) welcher aber weniger bes 
; um | 
quem iſt als jener; er ruͤckt der Wahrheit um fo näher, je groͤ⸗ 
ßer m iſt, wird ſelbſt ganz wahr, wenn man m = 00 oder 
1 \ = 
=.o fest. Letzteres beweiſen wie fo: man betrachte u 
= u als veraͤnderlich, fo folgt aus 
ls conſtant und — 
als ae und 
(N 
\w,ur/ 
0, 
m unſerm Falle? 
was bedeutet aber 
0 
für u = 0 der Ausdruck g; 
4 
a ade een bee 
Fa tn. ur een 
BE mc Euren 
A 
« 
— Inu; dieß iſt der Werth des obigen Ausdruckes 
= oder des Ausdruckes, den man erhält, wenn man ¹ 2 O 
ſubſtituiert in die Formel : 
u 
Ne! 
o den Werth = 
2 
8 peu 
Betrachtet man im letztern Ausdrucke u als conſtant, hin⸗ 
gegen u als veraͤnderlich, fo erhält man aus I. n. u 
u 
— 1 > 8 
— —— durch Differenzieren: 
Re ah 
924 
u u u 
d (l n u) ENTER TER n daher = 
u u 
= ben) „ wenn z fo klein angenommen wird, daß es gegen 1 
verſchwinden darf. 
b 2 m 
Es folgt aus I. n. u — wenn man 
— 2 und e der Baſis der naturlichen Logarithmen 
* Eine neue Methode für den Infiniteſimalcalculll «0. 
Seite 12. j . 
Iſis 1828. B. XXI. Heft 12. 
7 2 1210 
gleich Test: 
1 
Ka 
A ee 8 lich wi : 
e i ee dae wie n hate 
Differenziert man hier beyderſeits, fo erhält man 
1 
Er I, 
E & 
A = tmz r:1) dz = (mz + N - 
dz = e dz, wie dieß bekanntlich auch fo ausfal⸗ 
len ſoll. 5 2 
Mit allen hier entwickelten Gleichungen muß man im Rech⸗ 
nen und Anwenden derſelben ſehr vorſichtig zu Werke gehen, da 
ſie nur approximative Guͤltigkeit haben, und man mit appro⸗ 
rimativen Gleichungen nie ſo unbedingt verfahren 
darf, wie mit ſtrenge richtigen Equationen. Es find bey Anwen⸗ 
dung ſolcher approrimativer Gleichungen, deren eigentlicher Sinn, 
die Grenzen und Bedingungen ihrer Guͤltigkeit, die Art und 
Weiſe ihrer urſpruͤnglichen Entwicklung u. ſ. w. mit der Subhtili⸗ 
taͤt des echten Geometers, jedesmal zu wuͤrdigen, da man bey 
bloß mechaniſcher Manipulation, nach dem angenommenen Algo⸗ 
rithmus, ſonſt leicht auf Unſinn gerathen kann. 
So z. B. erhält man aus Gleichung 40, wenn man bey⸗ 
der Seits zur Potenz m erhebt, die Gleichung: 
eme —_ m 2z + 1, welches offenbar ein Unſinn wäre, wenn 
man unbedingt ſagen moͤchte, es muͤſſe nur m eine recht kleine 
Zahl ſeyn. Es iſt nicht hinreichend, daß m nur an und fuͤr 
ſich eine kleine Bruchzahl ſey, ſondern es muß m fo klein 
ſeyn, daß mz — ꝙ eine höchſt kleine Bruchzahl gebe, 
denn dann folgt 
> 
p 
e =ıH+ 9, welches nach der bekannten Reihe 
v9 . , 9 2 0 98 
E Si TY TE TZ TN 
auch naͤherungsweiſe wahr iſt, in foferne Y, alſo das Product 
mz, ein genugſam kleiner Bruch iſt, nicht aber in ſoferne bloß 
der Factor m ein ſehr kleiner Bruch ift, iR 
Um unfere Gleichung auf eine richtigere Art auszudrücken, 
ſetzen wir, für alle jene Fälle, wo z > + iſt, m 2. worin 
a 2 
n eine ſehr große Zahl ausdruͤckt, und erhalten 
e = — — (= * * oder: 
2 2 
8 (- + 9 = welche Gleichung nur in ſoferne wahr iſt, 
3 a 
e = 
als 2 > iſt, daher man hier für 2 — fälſchlich den Werth 
e = 2 erhält, ſtatt daß bekanntlich e = 2,7182818284 if, 
Es laßt ſich der natürliche Logarithmus auch noch folgender 
maßen naͤherungsweiſe ausdruͤcken: n 
Bekanntlich iſt: 
Baſis b 
In: My) S len u in : art: (1 5). folglich 
