318 
Mr. Youne on an Extension of a Theorem of Euler, 
(sv! — vs! + tu’ — ut! + wz! — zw + ay — yr’) = 
(sv’)? + 2sv'(— vs! tu’ — ul + we! — zw! + ay’ — yx’) 
+. (vs’)? — 2vs' (tu! — ut! + w2! — 2w' + ay! — yx ) 
4 (tu’)® + 2tu!(— ut! + we! — cw’ + ay! — ys’) 
+ (ut')? — Qué! (we! — 2w' + ay! — yx’) 
+ (w2!)? + Qwa!(— zw’ + ary’ — yx’) 
+ (zw’)? — Qzw'(ay’ — yx’) 
+ (ay') + 2ay'(— yx’) 
+ (y2’)’. 
(sw — ws! + at — ta! + uy! — yw + 20' — v2) = 
(sw! )? + 2sw' (— ws! + at! — ta’ + wy! — yu + 20" — vz’) 
+ (ws!)? — Qws' (at — ta’ + uy’ — yu! + zv' — v2") 
+ (at’)? + Qrt!(— ta’ + uy’ — yu! + zv' — v2’) 
+ (tx’)? — 2ta’(uy’ — yu' + zv' — v2") 
+ (uy')? + 2uy'(— yu! + 20! — v2") 
+ (yu! )* — Qyu'(zv" — v2") 
+ (2v')? + 220'( — v2’) 
+ (v2'). 
(sa! — as! + to’ — wt! + yo! — vy! + zu — uP = 
(sa’)? + 2sa’(— as’ + to’ — wt! + yo! — vy! 4+ zu! — uz’) 
+ (as'P — Qas'(tw'! — wt! + yo’ — vy! + 2’ — uz’) 
+ (tw’)? + 2tw'(— wt! + yo' — vy! + 2’ — uz’) 
+ (wt’)? — Qwt! (yo! — vy! + zu! — uz’) 
+ (yo')? + Qyv'(— vy! + zu! — wz’) 
+ (vy) — 2vy' (eu! — ue’) 
+ (zu')? + 22u'(— uz’) 
+ (u2'). 
