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Die Frag-e, welche unter allen Curven, die eine und dieselbe 

 Oberfläcliengriisse bei der Umdrehung um eine Achse erzeugen, den 

 grössten oder den kleinsten Umdrehungskörper liefert, drohte das 

 Vertrauen in die allgemeine Anwendbarkeit der Vorschriften der 

 Variationsrechnung zu erschüttern, weil sie die den allgemeinen 

 Bedingungen nicht entsprechende Kugel zu geben schien^). De- 

 launay^), und besonders Stern und Greve^) zeigten erst in 

 neuerer Zeit, dass die richtige Umdrehungscurve durch die Be- 

 wegung eines der beiden Brennpunkte einer auf der Abscissenachse 

 ohne Verschiebung rollenden Ellipse oder Hyperbel erzeugt wird. 

 Da der Brennpunct einer Parabel eine Kettenlinie unter den 

 gleichen Verhältnissen beschreibt, so hat man eine sogenannte 

 elliptische oder hyperbolische Kettenlinie in den beiden ersteren 

 Fällen. Jene liefert den grössten Werth des Kauminhaltes des 

 Umdrehungskörpers, diese hingegen den grössten oder den kleinsten, 

 je nachdem man die ausgehöhlte oder die gewölbte Curvenseite 

 betrachtet. Der Kreis entspricht dem Grenzfalle. 



Da die Gerade die einfachste der elastischen Linien ist, in- 

 dem sie dem Falle entspricht, in welchem keine biegende Kraft 

 die ebene und unendlich dünne Platte krümmt^), jeder Durchschnitt 

 von dieser also einer geraden Linie entspricht, so folgt, dass der 

 gerade Kreiscylinder Maximum- und Minimum-Eigenschaften in dem 

 Vergleiche der Oberfläche mit dem Rauminhalt darbieten muss. 



Ist der Flächeninhalt der Figur, welche von der Curve, den 

 beiden ihren Endpunkten zugehörenden Ordinaten eines rechtwink- 

 ligen Coordinatensystems und dem entsprechenden Stücke der Ab- 



Theorie und Anwendung des sogenannten Variationscalculs. Bd. II. Zürich 

 1849. 8. S. 507—509. J. Serret, Cours du Calcul differentiel et integral. 

 Tom. II. Paris 1868. 8. p. 720—722. 729. Vgl. auch die physikalische Unter- 

 suchung der Gewebe. S. 118. 119. 



1) Dass schon Euler vor der Erfindung der Variationsrechnung durch 

 Lagrange das Unpassende dieser Lösung erkannt und hervorgehoben hat, 

 erhellt aus seiner Methodus p. 195. 



2) Vgl. z. B. J. H. Jellett, Die Grundlehren der Variationsrechnung. 

 Bearbeitet von C. H. Schnuse, Braunschweig 1860. S. 397. 398. 



3) A. Greve, Ein Problem der Variationsrechnung. Frankfurt a. M. 

 1875. 8. S. 9—21. 45. 46. Eine kritische Darstellung der Bemühungen von 

 Jellet, Airy, Todtenuter, Challis und Lindelof siehe ebendaselbst 

 S. 21—38. Vgl. Fortschritte der Mathematik. Bd. 7. 1877. S. 298. 



4) Siehe schon Euler, Methodus p. 256. 



